התשובות הסופיות · נדב כץ
מתמטיקה א׳
שאלון 35571 · קיץ, מועד א׳ · תשפ״ה · 2025
שאלה, סעיף והתשובה. בלי דרך ובלי הסבר, כדי לבדוק מהר אם צדקתם. מי שרוצה לראות איך מגיעים לתשובה ימצא את הדרך בפתרון המלא.
פרק ראשון: שאלות קצרות
שאלה 1 20 נקודות
ארבעה סעיפים קצרים: אינדוקצייה וסכום ריבועי הזוגיים, טרפז שאלכסוניו מאונכים, זיהוי f, f′ ו-f″ לפי גרפים, פונקצייה רציונלית ושטח
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א(1) | הוכחה באינדוקצייה. בסיס: n = 1 נותן 4 = 2 · 1 · 3 · 23. מעבר: 2n(2n + 1)(n + 1)3 + (2n + 2)² = (n + 1)(4n² + 14n + 12)3 = 2(n + 1)(n + 2)(2n + 3)3, וזה בדיוק אגף ימין עבור n + 1 |
| א(2) | 171,696 |
| ב(1) | הוכחה: מן ההקבלה AB ∥ CD, ∢BAO = ∢OCD ו-∢ABO = ∢ODC (זוויות מתחלפות). עם הנתון ∢BAO = ∢CDO מקבלים ∢OCD = ∢ODC ו-∢OAB = ∢OBA, ולכן OC = OD ו-OA = OB. המשולשים AOD ו-BOC חופפים (צ.ז.צ, זוויות קודקודיות), ולכן AD = BC והטרפז שווה שוקיים |
| ב(2) | OF = 12√27 ≈ 2.42 |
| ג(1) | גרף II מתאר את f(x), גרף III מתאר את f′(x), וגרף I מתאר את f″(x) |
| ג(2) | 3 נקודות פיתול, כי גרף f″ (גרף I) חותך את ציר ה-x שלוש פעמים ומחליף בהן סימן |
| ג(3) | 3 יחידות שטח |
| ד(1) | −1 < x < 0 או x > 0 |
| ד(2) | גרף III |
| ד(3) | 724 יחידות שטח (בקירוב 0.29) |
פרק שני: אינדוקצייה, סדרות והסתברות
שאלה 2 20 נקודות
סדרה הנדסית אין-סופית, ושתי סדרות הנדסיות שנבנות ממנה: מנה, סדרה עולה וסכום
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | a₃ = 8 או a₃ = −8 |
| ב | q = −2 (הסדרה לא עולה ולא יורדת), aₙ = (−2)ⁿ. היחס bₙ₊₁bₙ = aₙaₙ₊₂ = 1q² = 14 קבוע לכל n, ולכן B הנדסית ומנתה 14 |
| ג(1) | 116 |
| ג(2) | k > 0. המנה 116 בין 0 ל-1, ולכן הסדרה עולה בדיוק כשהאיבר הראשון c₁ = −k8 שלילי |
| ד | k = 5 |
שאלה 3 20 נקודות
בחירות: התפלגות בינומית, הסתברות מותנית, נוסחת ההסתברות השלמה וסקר שנעצר
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | P = 0.4 |
| ב | 1697 ≈ 0.165 |
| ג | 49 ≈ 0.444 |
| ד | 0.07873125 ≈ 0.0787 |
פרק שלישי: גאומטרייה וטריגונומטרייה במישור
שאלה 4 20 נקודות
שני מעגלים, משיק, זווית מרכזית, קוטר, משולשים דומים ויחס שטחים
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | הוכחה: OA ⊥ AK (רדיוס למשיק), ולכן ∢KAO = 90°. במשולש שווה השוקיים AOE (OA = OE = r) ∢OAE = 90° − ½∢AOE, ולכן ∢KAE = 90° − ∢OAE = ½∢AOE |
| ב | הוכחה: ∢KAO = 90° היא זווית היקפית במעגל הגדול, ולכן היא נשענת על קוטר: OK קוטר. אמצע הקוטר הוא מרכז המעגל, ולכן M מרכז המעגל הגדול |
| ג | הוכחה: MA = MO = R, ולכן ∢MOA = ∢MAO. OE = OA = r, ולכן ∢OEA = ∢OAE. הנקודות A, E, M על ישר אחד, ולכן ∢MAO ו-∢EAO הן אותה זווית. מכאן △MOA ∼ △OEA לפי ז.ז. (M↔O, O↔E, A↔A) |
| ד | SOKA = 18S5 = 3.6S |
שאלה 5 20 נקודות
מעגל חסום במשולש שווה שוקיים: טריגונומטרייה במשולש ישר זווית, משפט הקוסינוסים ושטח
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א(1) | CO = r / sin α |
| א(2) | AC = r / (tan α · cos 2α) |
| ב | α = 30° |
| ג | r = 5 |
| ד | BE = 10√3 − 14.4 ≈ 2.92 |
פרק רביעי: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי
שאלה 6 20 נקודות
חקירת פונקצייה עם שורש ופרמטר, פונקצייה אי-זוגית, זיהוי גרף ושטח
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א(1) | x < −a או x > a |
| א(2) | אנכיות: x = a ו-x = −a. אופקיות: y = 1 (כש-x שואף לאינסוף) ו-y = −1 (כש-x שואף למינוס אינסוף) |
| ב | הוכחה: התחום סימטרי סביב 0, ו-f(−x) = −x√x² − a² = −f(x) |
| ג | f′(x) = −a²(x² − a²)3/2 < 0. הפונקצייה יורדת בתחום x < −a ובתחום x > a, ואין לה תחומי עלייה |
| ד | סקיצה: ענף ימני יורד מפלוס אינסוף ליד x = a ומתקרב ל-y = 1 מלמעלה. ענף שמאלי, סימטרי לו סביב ראשית הצירים, יורד מקרבת y = −1 (מלמטה) למינוס אינסוף ליד x = −a. אין חיתוך עם הצירים |
| ה(1) | g(x) = 1 − a²x², g′(x) = 2a²x³. g יורדת בתחום x < −a ועולה בתחום x > a |
| ה(2) | גרף I |
| ו | a = 9 |
שאלה 7 20 נקודות
פונקצייה טריגונומטרית: גרף ונגזרת, נקודות קיצון ופונקצייה עם ערך מוחלט
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | גרף II מתאר את f(x). גרף I מתאפס בדיוק מתחת לנקודות הקיצון של גרף II, חיובי בתחומים שבהם II עולה ושלילי בתחום שבו II יורדת. בכיוון ההפוך זה לא עובד: בתחום 0 < x < π גרף II חיובי, ואילו גרף I יורד שם |
| ב(1) | (0 , 0), (π , 0), (2π , 0) |
| ב(2) | מקסימום (π2 , 12), מינימום (3π2 , −12), מינימום קצה (0 , 0), מקסימום קצה (2π , 0) |
| ג | (π6 , 0), (5π6 , 0) |
| ד(1) | סקיצה: g(0) = 0.4, יורדת עד (π6 , 0) ושם פינה חדה, עולה עד (π2 , 0.1), יורדת עד (5π6 , 0) ושם פינה חדה, עולה עד (3π2 , 0.9), ויורדת עד (2π , 0.4). הגרף כולו על ציר ה-x או מעליו |
| ד(2) | מקסימום קצה (0 , 0.4), מינימום (π6 , 0), מקסימום (π2 , 0.1), מינימום (5π6 , 0), מקסימום (3π2 , 0.9), מינימום קצה (2π , 0.4) |
שאלה 8 20 נקודות
פונקצייה רציונלית עם פרמטר: אסימפטוטות, משיק ושטח משולש מינימלי
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | x = 1 (אנכית), y = 9 (אופקית) |
| ב | y = −2ax + 5a + 9 |
| ג | S = (3a + 9)²4a = 9(a + 3)²4a |
| ד | a = 3 (השטח המינימלי 27) |