מתמטיקה א׳

הוכחה באינדוקצייה על n זוגי. בסיס: n = 2 נותן 8 = 2 · 4 · 6 / 6. מעבר מ-n ל-n + 2: n(n + 2)(n + 4)6 + (n + 2)(n + 4) = (n + 2)(n + 4)(n + 6)6, וזה בדיוק אגף ימין עבור n + 2

5.5p (כלומר 11p2)

f: x < −1 או x > 1. g: x ≥ 0, x ≠ 1. h: −1 < x ≤ 0 או x > 1

f מתאימה לגרף 3, g מתאימה לגרף 1, h מתאימה לגרף 5. f היחידה שאינה מוגדרת בין −1 ל-1 (ויש לה אסימפטוטות אופקיות y = 1 ו-y = −1). g היחידה שאינה מוגדרת לשום x שלילי. h מוגדרת בתחום −1 < x ≤ 0 או x > 1 ואינה שלילית לעולם, ולכן גרף 5 ולא גרף 4. גרפים 2 ו-4 אינם מתאימים לאף פונקצייה

סקיצה של f′(x): פונקצייה זוגית. חיובית בתחום x < −3, מתאפסת ב-x = −3, שלילית בתחום −3 < x < 3 עם מינימום ב-x = 0, מתאפסת ב-x = 3 וחיובית בתחום x > 3. בשני הקצוות מתקרבת ל-0 מלמעלה (אסימפטוטה y = 0), ולכן יש לה נקודת מקסימום אחת מימין ל-3 ונקודה סימטרית לה משמאל ל-−3

144 יחידות שטח

יורדת. כל האיברים שליליים ו-q = 2, ולכן a(n+1) − a(n) = a(n)(q − 1) = a(n) < 0

b(n+1)/b(n) = k · a(n)/a(n+1) = k2, מספר קבוע שאינו תלוי ב-n, ולכן B הנדסית ומנתה k2

−607 (בקירוב −8.57)

35151 (בקירוב 0.232)

לא ייתכן. מן הנתון 1924 יוצא שהועברו 11 כדורים מכד ב' לכד א', ומכד שבו 10 כדורים אי אפשר להעביר 11

הוכחה: ∢BKA = ∢KCA (זווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על אותה קשת). KB ∥ CD, ולכן ∢KBA + ∢BDC = 180°. במרובע החסום KADC ∢AKC + ∢ADC = 180°, ולכן ∢KBA = ∢AKC. מכאן △ABK ∼ △AKC לפי ז.ז. (A↔A, B↔K, K↔C)

הוכחה: מן הדמיון ∢BAK = ∢KAC, ולכן AE חוצה את ∢BAC במשולש ABC. לפי משפט חוצה הזווית ABAC = BECE

S(KEC) = 14.4 − 4S (כלומר 725 − 4S)

R = 25.6√41 ≈ 4 (בקירוב 3.998). המעגל החוסם עובר דרך A, B, C, ולפי משפט הסינוסים BCsin 2β = 2 · 8, עם BC = R√412

עולה: x < −a וגם 0 < x < a. יורדת: −a < x < 0 וגם x > a

f מתאימה לגרף II, g מתאימה לגרף I, h מתאימה לגרף III. f חיובית וזוגית עם שתי אסימפטוטות. g = 1(x − a)(x + a)² שלילית לכל x < a ומחליפה סימן רק ב-x = a. h = 1(x + a)² חיובית, עם אסימפטוטה ב-x = −a ונקודת אי-הגדרה (חור) ב-x = a. גרף IV אינו מתאים

זוגית. התחום סימטרי סביב 0, ו-cos(−x) = cos x, ולכן f(−x) = f(x)

(0 , 4) מינימום, (π , 2) מינימום, (−π , 2) מינימום

סקיצה: שלושה ענפים בצורת U, אף אחד מהם אינו יורד מתחת ל-y = 2 (הענפים הצדדיים נוגעים בו במינימום). אסימפטוטות אנכיות x = ±π2 ו-x = ±3π2. הענף האמצעי עם מינימום (0 , 4), שני הענפים הצדדיים עם מינימום (π , 2) ו-(−π , 2). כל ענף שואף ל-∞ בשני קצותיו, והגרף סימטרי לציר ה-y

חיובית: 0 < x < 21. שלילית: x < 0 (מתאפסת ב-x = 0 וב-x = 21)

סקיצה: הגרף עולה מ-−∞ (כש-x → −∞), עובר בראשית, מגיע למקסימום (14 , 14√7) ≈ (14 , 37.04), ויורד עד נקודת הקצה (21 , 0). הגרף קעור כלפי מטה לכל אורכו