תרגול פתרון משוואות
כל מה שלמדנו - משוואה ליניארית בבידוד x, משוואה ריבועית בפירוק לגורמים ובנוסחת השורשים, הדיסקרימיננטה Δ = b² - 4ac שסופרת שורשים, משוואות עם שברים ועם נעלם במכנה, ומערכת שתי משוואות בחיבור - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מפתרון בודד ועד ניתוח ואיתור טעות ברמת בגרות. זכרו את הלב של הכול: מסדרים, פותרים, ומציבים בחזרה כדי לבדוק.
בכל שורה בחרו את התוצאה הנכונה לפי השיטה: משוואה ריבועית פותרים בפירוק לגורמים או בנוסחת השורשים, משוואה שיש בה נעלם במכנה פותרים בכפל במכנה, ומערכת פותרים בחיבור. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". מסדרים, פותרים, ומציבים בחזרה
אותה פרבולה, כמה שאלות. מאותה ריבועית אפשר לשאול: "מתי היא שווה לאפס?" - אלה השורשים, שמוצאים בפירוק או בנוסחת השורשים. "ומה עושים כשיש שבר?" - מכפילים במכנה המשותף ומקבלים משוואה נקייה (ואם הנעלם במכנה, בודקים בסוף שהמכנה אינו מתאפס). "כמה שורשים בכלל יש?" - הדיסקרימיננטה עונה עוד לפני שפותרים. נרענן כאן את הכללים, ומשם אל התרגול המדורג.
האנטומיה של משוואה ריבועית - תזכורת
נזכר שוב במבנה: לכל משוואה ריבועית ax² + bx + c = 0 יש אותם חלקים - שלושת המקדמים a, b ו-c, הדיסקרימיננטה Δ = b² - 4ac שקובעת כמה פתרונות יש, והשורשים עצמם, הערכים שבהם הביטוי מתאפס. כשמזהים את החלקים, כל משוואה נפתרת באותם צעדים. אותה תמונה תלווה אתכם בכל שאלה בתרגול.
שש כרטיסיות תזכורת
שישה מושגים מהדף, בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: ממשוואה ליניארית, דרך פירוק לגורמים, נוסחת השורשים והדיסקרימיננטה, ועד משוואות עם שברים ומערכת משוואות. ואז לתרגול המדורג.
משוואה ליניארית
מהצורה ax + b = c. מעבירים אגפים ומחלצים: מ-2x - 3 = x + 4 מקבלים x = 7. זהו הבסיס לכל השאר.
פתרון בפירוק לגורמים
אם x² + bx + c = 0 מתפרק ל-(x - r₁)(x - r₂) = 0, אז השורשים הם r₁ ו-r₂. למשל x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).
נוסחת השורשים
לכל ax² + bx + c = 0: x = -b ± b² - 4ac2a. עובדת תמיד, גם כשקשה לפרק.
הדיסקרימיננטה
Δ = b² - 4ac קובעת כמה שורשים יש: Δ > 0 שני שורשים, Δ = 0 שורש כפול אחד, Δ < 0 אין שורש ממשי.
שברים ונעלם במכנה
כשיש שברים, מכפילים את שני האגפים במכנה המשותף ומקבלים משוואה נקייה. מ-x + 23 - x - 12 = 1 נכפול ב-6 ונקבל 2(x + 2) - 3(x - 1) = 6, כלומר x = 1. כשהנעלם במכנה, אותו כלל - ובסוף בודקים שהמכנה אינו מתאפס.
מערכת משוואות
שתי משוואות עם שני נעלמים נפתרות בחיבור או בהצבה: מ-x + y = 10 ו-x - y = 2 חיבור נותן 2x = 12, כלומר x = 6 ו-y = 4.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד. השיטה קבועה: מסדרים את המשוואה, פותרים, ומציבים בחזרה כדי לבדוק. אותה שיטה תעבוד בתרגול.
- מזהים ריבועית: a = 1, b = -5, c = 6. מחפשים שני מספרים שמכפלתם 6 וסכומם 5.
- מפרקים לגורמים: x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0.
- מאפסים כל גורם: x - 2 = 0 או x - 3 = 0.
- הפתרונות הם x = 2 ו-x = 3.
- המשוואה: 24x - 24x + 2 = 2, ומראש: x ≠ 0 ו-x ≠ -2 (המכנים אינם מתאפסים).
- מכפילים במכנה המשותף x(x + 2): 24(x + 2) - 24x = 2x(x + 2).
- מפשטים: 24x + 48 - 24x = 2x² + 4x, כלומר 48 = 2x² + 4x, ואחרי חלוקה ב-2 והעברת אגפים: x² + 2x - 24 = 0.
- פותרים: מפרקים (x + 6)(x - 4) = 0, ולכן x = -6 או x = 4.
- בדיקה עבור x = 4: 244 - 246 = 6 - 4 = 2 ✓. בהקשר של גודל חיובי (אורך, מספר פריטים) נפסול את x = -6.
- מחברים את שתי המשוואות: (x + y) + (x - y) = 10 + 2, כלומר 2x = 12.
- מחלצים את x: x = 6.
- מציבים חזרה: מ-x + y = 10 מקבלים 6 + y = 10, ולכן y = 4.
- פתרון המערכת הוא (6, 4).
תרגול מדורג - פתרון משוואות
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: פתרון ישיר (ליניארית, פירוק, דיסקרימיננטה); יישום (בעיות מילוליות, מערכות, נעלם במכנה); בנייה רב-שלבית (סכום שורשים, שברים, נוסחת השורשים); ועד ניתוח, איתור טעות וטענות נכון או לא נכון ברמת בגרות. כל התשובות יוצאות מספר שלם. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ עם לשונית "פותר משוואות". בחרו או הקלידו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1סדר הפתרון: מסדרים לצורה ax² + bx + c = 0, פותרים בפירוק או בנוסחה, ומציבים בחזרה.
- 2נוסחת השורשים: x = -b ± b² - 4ac2a.
- 3דיסקרימיננטה: Δ = b² - 4ac קובעת כמה שורשים יש.
- 4שברים ונעלם במכנה: מכפילים במכנה המשותף, ובסוף בודקים שהמכנה אינו מתאפס.
- 5מערכת: חיבור או הצבה מצמצמים לנעלם אחד, ואז מציבים חזרה.
| הנתון | השיטה | התוצאה |
|---|---|---|
| x² - 5x + 6 = 0 | (x - 2)(x - 3) = 0 | x = 2 , x = 3 |
| 24 : x = 6 | כפל ב-x (ומראש x ≠ 0) | x = 4 |
| x² + x + 5 = 0 | Δ = 1 - 20 = -19 | אין שורש ממשי |
| x + y = 10, x - y = 2 | חיבור: 2x = 12 | x = 6 , y = 4 |
