נדב כץלמידה ברמה אחרת
מתמטיקה · י׳ · 3 יח״ל 3 יחידות
מודל ליניארי בהקשר כלכלי ופיננסי

מתופעה אל הישר, ובחזרה

y = mx + b, נוסחת השיפוע והחיתוכים עם הצירים כבר בידיים שלכם מהחטיבה. כאן הם הופכים לכלי עבודה: לוקחים תופעה אמיתית - תעריף מונית, מיכל שמתרוקן, שני מסלולי חיוב - ומוציאים ממנה מודל עם יחידות, מחליטים באיזה תחום המודל בכלל תקף, ומשווים שני מסלולים כדי למצוא את נקודת האיזון ביניהם. ואז הדבר החשוב באמת: לתרגם את המספר שיצא בחזרה לשפת הסיפור. הזיזו את התעריף במעבדה וראו איפה המסלולים מתחלפים.

מעבדת שני המסלולים שנו את דמי הפתיחה ואת המחיר לק״מ, וראו איפה נקודת האיזון זזה
ק״מ ₪
מסלול א׳: y = 4x + 12 · מסלול ב׳: y = 6x
נקודת איזון: 6 ק״מ · מחיר שם: 36 ₪
מסלול א׳: מחיר לק״מ (₪)4
מסלול א׳: דמי פתיחה (₪)12
עד 6 ק״מ מסלול ב׳ זול יותר, ומעליהם מסלול א׳.

איזה מסלול זול יותר? מסלול א׳ גובה 12 ₪ דמי פתיחה ועוד 4 ₪ לק״מ; מסלול ב׳ בלי דמי פתיחה אבל 6 ₪ לק״מ. אין תשובה אחת - זה תלוי במרחק. שני המודלים הם y = 4x + 12 ו-y = 6x, והם נחתכים כאשר 4x + 12 = 6x, כלומר x = 6 ק״מ (ושניהם עולים שם 36 ₪). מתחת ל-6 ק״מ מסלול ב׳ זול יותר, מעל 6 ק״מ מסלול א׳. זו בדיוק העבודה של השנה: לא לקרוא ישר, אלא לתת לישר לענות על שאלה שנשאלה במילים.

מבט מקרוב

מעגל המידול: מהסיפור למספר ובחזרה

בכל שאלת מודל ליניארי חוזרים אותם ארבעה שלבים. 1 - מזהים את הקצב ואת ההתחלה: מה משתנה לכל יחידה (m, עם יחידות: ₪ לק״מ, ליטר לדקה), ומה הערך כשעוד לא קרה כלום (b). 2 - כותבים את המשוואה ומגדירים מה זה x ומה זה y. 3 - קובעים את התחום שבו המודל תקף: המציאות מתחילה ב-x = 0, ולעיתים נגמרת בחיתוך עם ציר ה-x. 4 - עונים, ומתרגמים בחזרה: x = 6 אינו "שש" אלא "שישה קילומטרים".

קצב והתחלה ← משוואה ← תחום תקף ← תשובה בשפת הסיפור
1 קצב והתחלה, עם יחידות 4 ש״ח לכל ק״מ, ו-12 ש״ח לפני הנסיעה m = 4 , b = 12 2 משוואה, ומה x ומה y y = 4x + 12 x בק״מ, y בש״ח 3 התחום שבו המודל תקף x ≥ 0 אין מרחק שלילי; במיכל הסוף הוא חיתוך ציר x 4 תשובה בשפת הסיפור x = 12 אינו „שתים עשרה” אלא „אחרי 12 ק״מ המחיר מגיע ל-60 ש״ח” ולשני מסלולים: משווים את המודלים ומוצאים את נקודת האיזון 4x + 12 = 6x → x = 6 , y = 36 עד 6 ק״מ כדאי מסלול ב׳, ומעליהם מסלול א׳
נכיר צעד אחר צעד

מה מרכיב מודל ליניארי

שישה כלים שהופכים את הישר המוכר לכלי מידול. נסו לשנות במעבדה שלמעלה את דמי הפתיחה ואת המחיר לק״מ תוך כדי קריאה, וצפו איך נקודת האיזון נעה.

1

הקצב הוא השיפוע, עם יחידות

במודל m אינו רק מספר: הוא 4 ₪ לכל ק״מ, או 5 ליטר בכל דקה. היחידות הן מה שמאפשר לבדוק שהמודל הגיוני, והסימן אומר אם הכמות גדלה או קטנה.

2

הערך ההתחלתי הוא b

b הוא מה שקיים כבר ב-x = 0: דמי פתיחה, מלאי התחלתי, מיכל מלא, שכר בסיס. במודל הוא כמעט תמיד המספר שהסיפור נותן "לפני שמתחילים".

3

לבנות מודל משתי מדידות

לא תמיד נותנים לכם את m. אם ידוע שאחרי 2 דקות היו 40 ליטר ואחרי 5 דקות 25 ליטר, אז m = 25 - 405 - 2 = -5 ליטר לדקה, ומהצבה מקבלים b = 50.

4

התחום שבו המודל תקף

הישר המתמטי אינסופי; התופעה לא. מיכל מתרוקן ב-x = 10 דקות ואינו ממשיך למינוס ליטרים, ולכן המודל תקף רק ב-0 ≤ x ≤ 10. החיתוך עם ציר ה-x הוא לרוב סוף הסיפור.

5

שני מסלולים ונקודת האיזון

כדי להשוות שני מודלים משווים ביניהם: 4x + 12 = 6x נותן x = 6. זו נקודת האיזון. לפני 6 ק״מ המסלול בעל השיפוע הגדול זול יותר (כי אין לו דמי פתיחה), ואחריה הוא מתייקר. שני מסלולים בעלי אותו שיפוע לעולם אינם נפגשים.

6

לתרגם את התשובה בחזרה

שאלת בגרות אינה נגמרת ב-x = 6. התשובה היא "עד 6 ק״מ כדאי מסלול ב׳, ומעל 6 ק״מ כדאי מסלול א׳". בכל תשובה כותבים את היחידה ואת המשמעות.

ישרים מקבילים
אותו שיפוע - הפרש קבוע, בלי נקודת איזון
ישרים נחתכים
שיפועים שונים - נקודת איזון אחת, ואחריה מתחלפים
נפתור יחד

דוגמאות פתורות

שלוש דוגמאות בסגנון הבגרות: בראשונה בונים מודל מסיפור, בשנייה מוציאים מודל משתי מדידות וקובעים את תחום התוקף, ובשלישית משווים שני מסלולים ומכריעים.

דוגמה 1מונית: 12 ₪ דמי פתיחה ועוד 4 ₪ לק״מ. כמה עולים 5 ק״מ, ומאיזה מרחק המחיר עובר 60 ₪?
  1. מגדירים: x = מרחק בק״מ, y = מחיר ב-₪.
  2. קצב והתחלה: m = 4 ₪ לק״מ, b = 12 ₪ לפני שנסענו. המודל: y = 4x + 12.
  3. 5 ק״מ: y = 4·5 + 12 = 32 ₪.
  4. מתי 60 ₪: 4x + 12 = 60, ולכן 4x = 48 ו-x = 12.
  5. נסיעה של 5 ק״מ עולה 32 ₪, והמחיר מגיע ל-60 ₪ בדיוק ב-12 ק״מ.
דוגמה 2מיכל מתרוקן בקצב קבוע. אחרי 2 דקות נותרו 40 ליטר, ואחרי 5 דקות 25 ליטר. מהו המודל, וכמה זמן עד שיתרוקן?
  1. קצב משתי מדידות: m = 25 - 405 - 2 = -153 = -5 ליטר לדקה. הסימן השלילי הוא ההתרוקנות.
  2. ערך התחלתי: מציבים (2, 40) ב-y = -5x + b: 40 = -10 + b, ולכן b = 50 ליטר.
  3. המודל: y = -5x + 50. בדיקה ב-(5, 25): -25 + 50 = 25. מתאים.
  4. מתי מתרוקן: -5x + 50 = 0, ולכן x = 10 דקות.
  5. המודל הוא y = -5x + 50, המיכל מתרוקן אחרי 10 דקות, והמודל תקף רק בתחום 0 ≤ x ≤ 10.
דוגמה 3מסלול א׳: 12 ₪ פתיחה ועוד 4 ₪ לק״מ. מסלול ב׳: בלי פתיחה, 6 ₪ לק״מ. מתי כדאי כל אחד?
  1. שני מודלים: y = 4x + 12 ו-y = 6x.
  2. נקודת האיזון: משווים 4x + 12 = 6x, ולכן 12 = 2x ו-x = 6.
  3. המחיר שם: y = 6·6 = 36 ₪, וגם 4·6 + 12 = 36 ₪. שני המסלולים שווים בדיוק בנקודה הזו.
  4. בודקים משני צדדיה: ב-x = 2 מסלול ב׳ עולה 12 ₪ ומסלול א׳ עולה 20 ₪; ב-x = 10 מסלול ב׳ עולה 60 ₪ ומסלול א׳ עולה 52 ₪.
  5. עד 6 ק״מ כדאי מסלול ב׳, ב-6 ק״מ בדיוק הם שווים (36 ₪), ומעל 6 ק״מ כדאי מסלול א׳.
תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול אינטראקטיבי

ניקוד: 0 / 0

תרגול מקיף בשלוש רמות - יסוד, יישום ורמת בגרות - כולל בעיות מידול מהחיים. פתרו סט, ועברו לסט הבא עם החצים לעוד תרגול. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ בכפתור שבפינה.

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

0%
שליטה
0חדש
0בלימוד
0בחזרה
0שולט

הנקודות שכדאי לזכור

  • 1קצב עם יחידות: m הוא 4 ₪ לק״מ או 5- ליטר לדקה, לא סתם מספר. הסימן אומר גדילה או ירידה.
  • 2ערך התחלתי: b הוא מה שכבר קיים ב-x = 0 - דמי פתיחה, מיכל מלא, שכר בסיס.
  • 3משתי מדידות למודל: m = y₂ - y₁x₂ - x₁, ואז הצבת נקודה נותנת את b.
  • 4תחום תקף: המציאות מתחילה ב-x = 0 ולעיתים נגמרת בחיתוך עם ציר ה-x - שם הסיפור נגמר.
  • 5נקודת איזון: משווים בין שני המודלים; לפניה ואחריה המסלול המשתלם מתחלף. אותו שיפוע - אין נקודת איזון.
  • 6תשובה בשפת הסיפור: x = 6 פירושו "שישה קילומטרים", ותמיד כותבים את היחידה ואת המסקנה.
מפתח פתרונות (תרגול)

    היי! היום הישר עובד בשבילנו: כל שאלה מתחילה בסיפור ונגמרת בתשובה בשפת הסיפור.

    תצוגת דף עבודה כל השאלות פתוחות, בלי מענה אינטראקטיבי