תרגול אחוזים ושינוי באחוזים
כל מה שלמדנו על אחוזים ועל שינוי באחוזים - אחוז כשבר ממאה (15% מ-200 = 30), מקדם עלייה (1 + r/100) ומקדם ירידה (1 - r/100), שינוי כולל כמכפלת מקדמים (1.12 · 0.88 = 0.9856), שיעור השינוי (ערך חדש : ערך מקורי) וחזרה לערך המקורי בחילוק במקדם - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות ממציאת אחוז בודד ועד ניתוח, השוואה ואיתור טעות ברמת בגרות. זכרו את השיטה: מקדם → כפל → פירוש (ולחזרה לערך המקורי: חילוק במקדם).
בכל שורה בחרו את התשובה הנכונה. זהו את המקדם, הכפילו (או חלקו כדי לחזור לערך המקורי), ופרשו את התוצאה. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". מקדם → כפל → פירוש
למה מקדם? כשמחיר עולה ב-5% אפשר לחשב 5% ולהוסיף, או פשוט להכפיל ב-1.05. היופי מתגלה כשיש כמה שינויים ברצף: מחיר שעלה ב-30% ואחר כך ירד ב-30% אינו חוזר למקומו, כי 1.3 · 0.7 = 0.91, ומוצר של 1,000 ₪ יעלה בסוף 910 ₪. נזכיר כאן בקצרה איך אחוז הופך למקדם, ומשם לתרגול המדורג.
האנטומיה של שינוי באחוזים - תזכורת
נזכר שוב במבנה: כל שינוי באחוזים הוא כפל במקדם. הערך המקורי הוא 100% (המספר 1), ואליו מוסיפים את שיעור העלייה או ממנו מחסירים את שיעור הירידה. כשמזהים את המקדם, כל תרגיל הופך לכפל פשוט - ולחזרה לערך המקורי פשוט מחלקים במקדם. אותה תמונה תלווה אתכם בכל שאלה בתרגול.
שש כרטיסיות תזכורת
שישה מושגים מתחום האחוזים של כיתה י׳ (3 יח״ל), בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: מהמרת אחוז למקדם ועד שיעור השינוי וחזרה לערך המקורי. ואז לתרגול המדורג.
אחוז = חלק מ-100
אחוז אחד הוא 1100 מהשלם. למשל 15% מ-200 ₪ הם 200 · 0.15 = 30 ₪. השלם עצמו הוא תמיד 100%.
עלייה באחוזים
עלייה של r% היא כפל במקדם (1 + r100). עלייה של 10% נותנת מקדם 1.1, ולכן 800 · 1.1 = 880 ₪.
ירידה באחוזים
ירידה של r% היא כפל במקדם (1 - r100). הנחה של 15% נותנת מקדם 0.85, ולכן 200 · 0.85 = 170 ₪.
שינוי כולל (מכפלת מקדמים)
כמה שינויים ברצף מכפילים את המקדמים. עלייה של 12% ואז ירידה של 12%: 1.12 · 0.88 = 0.9856, כלומר ירידה כוללת של 1.44% - לא חזרה למחיר המקורי.
בכמה אחוזים השתנה הערך?
כדי למצוא את שיעור השינוי מחלקים את הערך החדש בערך המקורי ומקבלים את המקדם. מחיר שעלה מ-40 ₪ ל-46 ₪: 46 : 40 = 1.15, כלומר עלייה של 15%. ומקדם 0.9 פירושו ירידה של 10%.
מציאת הערך המקורי
אם ידוע הסכום אחרי השינוי, מחלקים במקדם כדי לחזור לערך המקורי. אם מחיר עלה ב-25% ל-500 ₪, אז 500 : 1.25 = 400 ₪ היה המחיר המקורי.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד, בדיוק בסגנון בגרות 3 יח״ל. שימו לב שהשיטה זהה: מזהים את המקדם, מכפילים, ומפרשים את התוצאה בהקשר. אותה שיטה תעבוד בתרגול.
- מזהים את השינוי: הנחה של 15%, ולכן משלמים רק 85% מהמחיר.
- מקדם הירידה: 1 - 0.15 = 0.85.
- מכפילים: 200 · 0.85 = 170.
- המחיר לאחר ההנחה הוא 170 ₪.
- מזהים את הנתונים: סוחר קנה מוצר ב-80 ₪ ומכר אותו ב-92 ₪. הערך המקורי הוא מחיר הקנייה.
- מחלקים ומקבלים מקדם: 92 : 80 = 1.15.
- מפרשים: 1.15 = 1 + 0.15, כלומר מחיר המכירה גבוה ב-15% ממחיר הקנייה (רווח של 12 ₪).
- הסוחר הרוויח 15%.
- שני שינויים ברצף: המחיר עלה ב-12% (מקדם 1.12) ואז ירד ב-12% (מקדם 0.88).
- מכפילים מקדמים: 1.12 · 0.88 = 0.9856.
- מפרשים: 0.9856 = 1 - 0.0144, כלומר המחיר הסופי הוא 98.56% מהמקורי.
- בסך הכול ירידה של 1.44% - אף שהאחוזים היו זהים.
תרגול מדורג - אחוזים ושינוי באחוזים
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: יסודות האחוז והמקדם; חישוב ערך אחרי עלייה או ירידה; שיעור השינוי, מכפלת מקדמים וחזרה לערך המקורי; ועד ניתוח, השוואה ואיתור טעות ברמת בגרות. כל התרגילים נותנים תשובות במספרים נקיים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ ולעבור ללשונית "שינוי באחוזים". בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1עלייה: כפל במקדם 1 + r100 (גדול מ-1).
- 2ירידה: כפל במקדם 1 - r100 (קטן מ-1).
- 3שינוי כולל: מכפילים את כל המקדמים, למשל 1.12 · 0.88 = 0.9856.
- 4שיעור השינוי: ערך חדש : ערך מקורי נותן את המקדם, ומקדם 1.15 פירושו עלייה של 15%.
- 5חזרה לערך המקורי: מחלקים במקדם כדי למצוא את הסכום המקורי.
| המשימה | הכלל | דוגמה |
|---|---|---|
| מציאת חלק | אחוז × שלם | 15% × 200 = 30 |
| עלייה באחוזים | שלם × (1 + r/100) | 800 × 1.1 = 880 |
| ירידה / הנחה | שלם × (1 - r/100) | 200 × 0.85 = 170 |
| שיעור השינוי | ערך חדש : ערך מקורי | 46 : 40 = 1.15 (עלייה של 15%) |
| שינוי כולל | מכפלת מקדמים | 1.12 × 0.88 = 0.9856 |
| חזרה לערך המקורי | סופי : מקדם | 500 : 1.25 = 400 |
