נדב כץלמידה ברמה אחרת
מתמטיקה · י׳ · 3 יח״ל 3 יחידות
אחוזים ושינוי באחוזים

לשלוט באחוזים

עלייה וירידה באחוזים, שינוי כולל כמכפלת מקדמים, מציאת שיעור השינוי ומציאת הערך המקורי. הזיזו את הסליידרים וראו איך מחיר משתנה אחרי שני שינויים ברצף, בזמן אמת.

מעבדת השינויים באחוזים שנו את המחיר ואת שני השינויים וצפו במחיר הסופי
מחיר (₪)
1,000 · 1.10 · 0.80
מקדם כולל 0.88 · מחיר סופי: 880.00 ₪
מחיר מקורי (₪)1,000
שינוי ראשון (%)10
שינוי שני (%)-20
מקדם כולל 0.88: ירידה כוללת של 12%

למה מקדם? כשמחיר עולה ב-5% אפשר לחשב 5% ולהוסיף, או פשוט להכפיל ב-1.05. היופי מתגלה כשיש כמה שינויים ברצף: מחיר שעלה ב-30% ואחר כך ירד ב-30% אינו חוזר למקומו, כי 1.3 · 0.7 = 0.91. מוצר של 1,000 ₪ יעלה בסוף 910 ₪. זה כוחו של המקדם.

מבט מקרוב

האנטומיה של שינוי באחוזים

כל שינוי באחוזים הוא כפל במקדם. הערך המקורי הוא 100% (המספר 1), ואליו מוסיפים או ממנו מחסירים את שיעור השינוי. כשמזהים את המקדם, כל תרגיל הופך לכפל פשוט.

החלקים של חישוב באחוזים
1,000 × 1.05 = 1,050 ערך מקורי (100%) מקדם השינוי ערך חדש 1.05 = 1 + 0.05 (עלייה של 5%)
נכיר צעד אחר צעד

מה מרכיב חישוב באחוזים

שישה רעיונות שייתנו לכם שליטה מלאה בכל שאלת אחוזים: מחיר, הנחה, שכר, רווח והפסד. נסו לשנות במעבדה שלמעלה את שני השינויים תוך כדי קריאה, וצפו בהשפעה.

1

אחוז = חלק מ-100

אחוז אחד הוא 1100 מהשלם. למשל 15% מ-200 ₪ הם 200 · 0.15 = 30 ₪. השלם עצמו הוא תמיד 100%.

2

עלייה באחוזים

עלייה של r% היא כפל במקדם (1 + r100). עלייה של 10% נותנת מקדם 1.1, ולכן 800 · 1.1 = 880 ₪.

3

ירידה באחוזים

ירידה של r% היא כפל במקדם (1 − r100). הנחה של 15% נותנת מקדם 0.85, ולכן 200 · 0.85 = 170 ₪.

4

שינוי כולל (מכפלת מקדמים)

כמה שינויים ברצף מכפילים את המקדמים. עלייה של 12% ואז ירידה של 12%: 1.12 · 0.88 = 0.9856, כלומר ירידה כוללת של 1.44%.

5

בכמה אחוזים השתנה הערך?

כדי למצוא את שיעור השינוי מחלקים את הערך החדש בערך המקורי ומקבלים את המקדם. מחיר שעלה מ-40 ₪ ל-46 ₪: 46 : 40 = 1.15, כלומר עלייה של 15%. ומקדם 0.9 פירושו ירידה של 10%.

6

מציאת הערך המקורי

אם ידוע הסכום אחרי השינוי, מחלקים במקדם כדי לחזור לערך המקורי. אם מחיר עלה ב-25% ל-500 ₪, אז 500 : 1.25 = 400 ₪ היה המחיר המקורי.

×(1 + r)
עלייה באחוזים
כפל במקדם גדול מ-1
×(1 − r)
ירידה באחוזים
כפל במקדם קטן מ-1
נפתור יחד

דוגמאות פתורות

שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד, בדיוק בסגנון בגרות 3 יח״ל. שימו לב שהשיטה זהה: מזהים את המקדם, מכפילים, ומפרשים את התוצאה בהקשר.

דוגמה 1200 ₪ · (1 − 0.15)
  1. מזהים את השינוי: הנחה של 15%, ולכן משלמים רק 85% מהמחיר.
  2. מקדם הירידה: 1 − 0.15 = 0.85.
  3. מכפילים: 200 · 0.85 = 170.
  4. המחיר לאחר ההנחה הוא 170 ₪.
דוגמה 292 : 80 = 1.15
  1. מזהים את הנתונים: סוחר קנה מוצר ב-80 ₪ ומכר אותו ב-92 ₪. הערך המקורי הוא מחיר הקנייה.
  2. מחלקים ומקבלים מקדם: 92 : 80 = 1.15.
  3. מפרשים: 1.15 = 1 + 0.15, כלומר מחיר המכירה גבוה ב-15% ממחיר הקנייה (רווח של 12 ₪).
  4. הסוחר הרוויח 15%.
דוגמה 3מחיר · 1.12 · 0.88
  1. שני שינויים ברצף: המחיר עלה ב-12% (מקדם 1.12) ואז ירד ב-12% (מקדם 0.88).
  2. מכפילים מקדמים: 1.12 · 0.88 = 0.9856.
  3. מפרשים: 0.9856 = 1 − 0.0144, כלומר המחיר הסופי הוא 98.56% מהמקורי.
  4. בסך הכול ירידה של 1.44% - אף שהאחוזים היו זהים.
תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול אינטראקטיבי

ניקוד: 0 / 0

תרגול מקיף, מחולק לפי שלוש רמות: יסוד, יישום ורמת בגרות. פתרו סט, ועברו לסט הבא עם החצים לעוד תרגול. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ בכפתור שבפינה (לשונית "שינוי באחוזים").

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

0%
שליטה
0חדש
0בלימוד
0בחזרה
0שולט

הנקודות שכדאי לזכור

  • 1עלייה: כפל במקדם 1 + r100 (גדול מ-1).
  • 2ירידה: כפל במקדם 1 − r100 (קטן מ-1).
  • 3שינוי כולל: מכפילים את כל המקדמים, למשל 1.12 · 0.88 = 0.9856.
  • 4שיעור השינוי: ערך חדש : ערך מקורי נותן את המקדם, ומקדם 1.15 פירושו עלייה של 15%.
  • 5חזרה לערך המקורי: מחלקים במקדם כדי למצוא את הסכום המקורי.
מפתח פתרונות (תרגול)

    הזיזו את שני השינויים. כל שינוי הוא כפל במקדם, וכך רואים למה עלייה וירידה באותו אחוז אינן מתקזזות.

    תצוגת דף עבודה כל השאלות פתוחות, בלי מענה אינטראקטיבי