תרגול היקפים
כל מה שלמדנו ביחידה הראשונה של אשכול ההתמצאות - היקף מצולעים 2(a + b) ו-4a, היקף מעגל 2·π·R, צורות מורכבות שבהן קשת מחליפה צלע, חילוץ ממד חסר מתוך היקף נתון, משפט פיתגורס והמרת יחידות - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מחישוב בודד ועד השוואת כדאיות ואיתור טעות ברמת בגרות.
בכל שורה בחרו את התוצאה הנכונה: מלבן ומקבילית 2(a + b), ריבוע ומעוין 4a, מעגל 2·π·R (או π·d כשנתון קוטר), וצורה מורכבת שבה קשת מחליפה צלע. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו בדיקה.
היקף אחד, הרבה שאלות. מאותה צורה אפשר לשאול: "כמה גדר?" - סוכמים את השפה. "כמה זה יעלה?" - מכפילים במחיר למטר. "מה הממד החסר?" - כותבים משוואה מתוך ההיקף. "ומה קורה אם מגדילים צלע?" - בודקים מה קרה לסכום a + b. הכללים בקצרה בשורות הבאות, ואז תרגול מדורג.
האנטומיה של היקף בצורה מורכבת - תזכורת
נזכיר את הכלל שמפיל הכי הרבה שאלות: בצורה מורכבת ההיקף הוא רק הקו החיצוני. כשקשת מחליפה צלע, הצלע יוצאת מהחישוב והקשת נכנסת במקומה. במלבן שעל צלעו העליונה בנוי חצי עיגול, השפה היא הבסיס, שתי הצלעות והקשת בלבד. אותה תמונה תלווה אתכם בכל שאלה בתרגול.
שש כרטיסיות תזכורת
שישה מושגים מהיחידה הראשונה של אשכול ההתמצאות, בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: ממשמעות ההיקף, דרך הנוסחאות למצולעים ולמעגל, ועד צורות מורכבות, חילוץ ממד והמרת יחידות. ואז לתרגול המדורג.
מה מייצג ההיקף
ההיקף הוא אורך השפה, ולכן הוא ביחידות אורך: מ׳, ס״מ, ק״מ. גדר, פנלים, מסגרת, אבני שפה והיקף מותניים - כולם היקף. מה שממלא את הצורה נמדד בשטח, וזה גודל אחר ביחידות אחרות (מ״ר).
היקף של שפה מקטעים
מלבן ומקבילית: P = 2(a + b). ריבוע ומעוין: P = 4a. משולש וטרפז: סוכמים את כל הצלעות. במשולש שווה שוקיים שתי השוקיים שוות, ובמשולש שווה צלעות P = 3a.
היקף מעגל
מהנוסחאון: P = 2·π·R. אם נתון קוטר, P = π·d. חצי מעגל: הקשת לבדה היא π·R, ואם סוגרים אותה בקוטר מוסיפים עוד 2R. בדף הזה π = 3.14.
צורה מורכבת
עוברים עם האצבע על הקו הסוגר וסוכמים רק את מה שנמצא עליו. מלבן a על b עם חצי עיגול על הצלע העליונה: P = a + 2b + π·a2. הצלע שהוחלפה בקשת אינה נספרת.
חילוץ ממד מתוך ההיקף
נתון ההיקף ומבקשים ממד? סמנו x וכתבו משוואה ממעלה ראשונה. מלבן שהיקפו 80 מ׳ שאורכו גדול פי 3 מרוחבו: 2(x + 3x) = 80, כלומר 8x = 80 ו-x = 10 מ׳.
יחידות, פיתגורס ואחוזים
המירו לפני החיבור: 1 מ׳ = 100 ס״מ. במשולש ישר זווית פיתגורס a² + b² = c² משלים צלע חסרה (למשל 9, 12 נותנים 15). ואם כל הצלעות קטנות ב-10%, גם ההיקף קטן ב-10% בדיוק.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות מסוגי היחידה, לפני שמתחילים: גדר סביב כיכר עגולה, חילוץ ממד חסר מתוך היקף, ומסלול ריצה שהוא צורה מורכבת. השיטה בשלושתן זהה: לזהות מה נמדד לאורך השפה, ורק אז לחשב.
- מזהים מה מבקשים: הגדר עוטפת את הכיכר, כלומר היקף המעגל.
- מציבים בנוסחה: P = 2 · 3.14 · 15 = 94.2 מ׳.
- שאלת העלות: מטר גדר 45 ₪, ולכן 94.2 · 45 = 4,239 ₪.
- אורך הגדר 94.2 מ׳, ועלותה 4,239 ₪.
- מסמנים: הרוחב x, האורך 3x.
- כותבים משוואת היקף: 2(x + 3x) = 80, כלומר 8x = 80.
- פותרים: x = 10, ולכן הרוחב 10 מ׳ והאורך 30 מ׳.
- בודקים: 2(10 + 30) = 80 מ׳. מתאים.
- ממדי המלבן הם 10 מ׳ על 30 מ׳.
- עוברים על השפה: שתי הצלעות הארוכות נשארות, ושתי הצלעות הקצרות הוחלפו בקשתות.
- הקטעים הישרים: 14 + 14 = 28 מ׳.
- הקשתות: כל חצי עיגול הוא בקוטר 8 מ׳, כלומר רדיוס 4 מ׳, ואורכו 3.14 · 4 = 12.56 מ׳. שתי הקשתות יחד הן מעגל שלם: 25.12 מ׳.
- מחברים: 28 + 25.12 = 53.12 מ׳.
- אורך המסלול 53.12 מ׳. שימו לב לתובנה: שתי קשתות של חצי עיגול באותו קוטר מרכיבות יחד מעגל שלם.
תרגול מדורג - היקפים בהקשר אורייני
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: יסודות ההיקף (נוסחאות למצולעים ולמעגל); הקשר אורייני (גדר, פנלים, מסגרת, עלויות והמרת יחידות); חילוץ ממד וצורות מורכבות; ועד השוואת כדאיות, פיתגורס ואיתור טעות ברמת בגרות. בכל שאלה עם π השתמשו ב-π = 3.14. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ עם לשונית "היקפים".
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1היקף = אורך השפה ביחידות אורך. שטח הוא גודל אחר ביחידות אחרות.
- 2מצולעים: מלבן ומקבילית 2(a + b), ריבוע ומעוין 4a, משולש וטרפז - סכום הצלעות.
- 3מעגל: 2·π·R או π·d. קשת של חצי מעגל: π·R.
- 4צורה מורכבת: צלע שהוחלפה בקשת יוצאת מהחישוב. שתי קשתות חצי-עיגול באותו קוטר מרכיבות מעגל שלם.
- 5נתון ההיקף? סמנו x, כתבו משוואה ממעלה ראשונה, ואל תשכחו להמיר יחידות לפני החיבור.
| הצורה | הנוסחה | דוגמה |
|---|---|---|
| מלבן, מקבילית | P = 2(a + b) | 2(15 + 8) = 46 |
| ריבוע, מעוין | P = 4a | 4 · 12 = 48 |
| משולש, טרפז | סכום כל הצלעות | 8 + 5 + 12 + 5 = 30 |
| מעגל | P = 2·π·R = π·d | 2 · 3.14 · 4 = 25.12 |
| חצי עיגול סגור | P = π·R + 2R | 3.14·6 + 12 = 30.84 |
