לחשב את השפה של הצורה
היקף הוא אורך השפה של הצורה: הקו שסוגר אותה מסביב. זו היחידה הראשונה של אשכול ההתמצאות במישור ובמרחב בכיתה י׳, ובה לומדים לחשב את אורך הגדר סביב כיכר, את אורך הפנלים בחדר ואת היקף המותניים בטבלת מידות. נלמד היקף של צורות שהשפה שלהן מורכבת מקטעים, היקף מעגל, והיקף של צורות מורכבות שהשפה שלהן מקטעים וגם מחלקי מעגל. נחלץ ממד חסר מתוך היקף נתון, ונשתמש במשפט פיתגורס כשחסרה צלע.
למה היקף? לגינה מלבנית שממדיה 24 מ׳ על 12 מ׳ רוצים גדר. הגדר אינה מכסה את הגינה, היא רק עוטפת אותה, ולכן מה שקובע את המחיר הוא אורך השפה: 2(24 + 12) = 72 מ׳. אותו רעיון בדיוק עומד מאחורי פנלים בחדר, אבני שפה סביב כיכר, מסגרת לתמונה וטבלת מידות של חולצות. בכל אלה אנחנו מודדים לאורך הקו הסוגר, לא את מה שבפנים.
האנטומיה של היקף בצורה מורכבת
בצורה מורכבת ההיקף הוא רק הקו החיצוני שסוגר אותה. כשמחליפים צלע בקשת, הצלע יוצאת מהחישוב והקשת נכנסת במקומה. במלבן שעל צלעו העליונה בנוי חצי עיגול, השפה היא הבסיס, שתי הצלעות והקשת בלבד. זו הטעות הנפוצה ביותר ביחידה הזאת, ולכן שווה לעבור עם האצבע על הקו לפני שכותבים את התרגיל.
שישה דברים שנותנים שליטה בכל שאלת היקף
שישה רעיונות שמכסים את היחידה כולה: ממשמעות ההיקף בהקשר האורייני, דרך היקף מצולעים והיקף מעגל, ועד צורות מורכבות, חילוץ ממד חסר, והשפעת שינוי ממדים. נסו להזיז את הסליידרים במעבדה שלמעלה תוך כדי קריאה.
מה מייצג ההיקף
ההיקף הוא אורך השפה של הצורה, ולכן הוא נמדד ביחידות אורך: מטרים, סנטימטרים או קילומטרים. גדר סביב גינה, אבני שפה סביב כיכר, פנל סביב רצפת חדר, מסגרת סביב תמונה, היקף מותניים בטבלת מידות - כולם היקף. מה שבתוך הצורה נמדד בשטח, וזה גודל אחר לגמרי.
היקף של שפה מקטעים
כשהשפה מורכבת מקטעים, מחברים את כל הקטעים. מלבן: P = 2(a + b). ריבוע: P = 4a. במעוין כל ארבע הצלעות שוות, ולכן גם בו P = 4a. במקבילית הצלעות הנגדיות שוות, ולכן P = 2(a + b). במשולש ובטרפז פשוט סוכמים את הצלעות.
היקף מעגל
בנוסחאון מופיע P = 2·π·R, כאשר R הוא הרדיוס. אם נתון הקוטר, זכרו ש-d = 2R ולכן P = π·d. בדף הזה נשתמש ב-π = 3.14, כך שלמעגל שרדיוסו 5 מ׳ מתקבל 2 · 3.14 · 5 = 31.4 מ׳.
צורה מורכבת
כשהשפה מורכבת מקטעים וגם מחלקי מעגל, עוברים על הקו הסוגר ומחברים רק את מה שנמצא עליו. במלבן a על b שעל צלעו העליונה בנוי חצי עיגול מתקבל P = a + 2b + π·a2. הצלע העליונה נעלמה מהחישוב, כי הקשת החליפה אותה.
חילוץ ממד מתוך ההיקף
השאלה ההפוכה נפוצה לא פחות: נתון ההיקף, ומבקשים ממד. מסמנים את הממד הלא ידוע ב-x וכותבים משוואה ממעלה ראשונה. מלבן שהיקפו 46 מ׳ שאורכו גדול ב-5 מ׳ מרוחבו: 2(x + x + 5) = 46, ומכאן 4x = 36 ו-x = 9 מ׳.
יחידות, פיתגורס ושינוי ממדים
לפני חיבור, ודאו שכל הקטעים באותן יחידות: 1 מ׳ = 100 ס״מ. כשחסרה צלע במשולש ישר זווית, משפט פיתגורס a² + b² = c² משלים אותה. ושימו לב לתכונה חשובה: אם מגדילים צלע אחת של מלבן ב-4 מ׳ ומקטינים את השנייה ב-4 מ׳, הסכום a + b לא משתנה ולכן ההיקף נשאר זהה.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות מסוגי היחידה: גדר סביב כיכר עגולה, פנלים בחדר מלבני, וחילוץ ממדי מגרש מתוך ההיקף שלו. שימו לב שבכל אחת מהן הצעד הראשון הוא לעבור על השפה ולראות מה בדיוק נמדד.
- מזהים מה מבקשים: הגדר עוטפת את הכיכר מסביב, כלומר מדובר בהיקף המעגל.
- כותבים את הנוסחה מהנוסחאון: P = 2·π·R.
- מציבים: P = 2 · 3.14 · 15 = 94.2 מ׳.
- מוסיפים את שאלת העלות: מטר גדר עולה 45 ₪, ולכן 94.2 · 45 = 4,239 ₪.
- אורך הגדר 94.2 מ׳ ועלותה 4,239 ₪.
- מחשבים את היקף החדר: 2(4.5 + 3.2) = 2 · 7.7 = 15.4 מ׳.
- מורידים את מה שאין עליו פנל: בפתח הדלת אין פנל, ולכן מחסירים 0.9 מ׳.
- מחשבים: 15.4 - 0.9 = 14.5 מ׳.
- דרושים 14.5 מ׳ פנלים. שימו לב: ההיקף הוא נקודת הפתיחה, וההקשר האורייני קובע מה מוסיפים או מחסירים ממנו.
- מסמנים: הרוחב הוא x מ׳, ולכן האורך הוא x + 5 מ׳.
- כותבים משוואת היקף: 2(x + x + 5) = 46.
- פותרים משוואה ממעלה ראשונה: 4x + 10 = 46, ומכאן 4x = 36 ו-x = 9.
- בודקים: הרוחב 9 מ׳, האורך 14 מ׳, ואכן 2(9 + 14) = 46 מ׳.
- ממדי המגרש הם 9 מ׳ על 14 מ׳.
תרגול אינטראקטיבי
שלוש רמות: יסוד (חישוב היקף ישיר), יישום (הקשר אורייני, צורה מורכבת וחילוץ ממד), ורמת בגרות (שאלה רב-שלבית והשוואת כדאיות). בכל שאלה שדורשת π השתמשו ב-π = 3.14. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון ואת מחשבון ההיקפים של נדב כץ בכפתור שבפינה.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1היקף = אורך השפה, ולכן הוא תמיד ביחידות אורך. עברו עם האצבע על הקו הסוגר לפני החישוב.
- 2מצולעים: מלבן ומקבילית 2(a + b), ריבוע ומעוין 4a, משולש וטרפז - סכום הצלעות.
- 3מעגל: P = 2·π·R, ואם נתון קוטר אז P = π·d. חצי מעגל: קשת באורך π·R.
- 4צורה מורכבת: צלע שהוחלפה בקשת יוצאת מהחישוב. סוכמים רק את מה שנמצא על הקו החיצוני.
- 5נתון ההיקף? סמנו x, כתבו משוואה ממעלה ראשונה, ופתרו. ואל תשכחו להמיר יחידות לפני החיבור.
