תרגול מדדי המרכז
כל מה שלמדנו על מדדי המרכז - ממוצע (סכום הנתונים חלקי מספרם), שכיח (הערך הנפוץ), חציון (האמצעי בסדר עולה; לזוגי ממוצע שני האמצעיים) וממוצע משוקלל מטבלת שכיחויות, ולמה ערך חריג מזיז את הממוצע חזק אך כמעט לא את החציון - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מקריאת מדד בודד ועד ניתוח ואיתור טעות ברמת בגרות. זכרו את השיטה: מסדרים בסדר עולה, ואז מזהים ממוצע, שכיח או חציון.
בכל שורה בחרו את המדד הנכון. מסדרים בסדר עולה, ואז מזהים ממוצע, שכיח או חציון - וזכרו: לזוגי לוקחים את ממוצע שני האמצעיים, ובטבלת שכיחויות מחשבים ממוצע משוקלל. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". מסדרים תחילה · ואז מחשבים את המדד המבוקש
מספר אחד שמסכם הכול. סדרת נתונים שלמה אפשר לכווץ למספר מרכזי אחד - אבל איזה מספר? הממוצע נכנס לתוך הסכום ומרגיש כל ערך, ולכן ערך חריג אחד מושך אותו חזק; החציון עומד באמצע וכמעט לא זז. נזכיר כאן את מדדי המרכז ואת הממוצע המשוקלל מטבלת שכיחויות, ומשם לתרגול המדורג. זכרו: לפני כל חישוב חציון מסדרים בסדר עולה.
האנטומיה של סדרת נתונים - תזכורת
נזכר שוב במבנה: לפני שמחשבים מדד, מסדרים את הנתונים מהקטן לגדול. אז נחשפים המקומות החשובים - הערך שבאמצע (החציון), הערך שחוזר הכי הרבה פעמים (השכיח), והממוצע המתקבל מחלוקת הסכום במספר הנתונים. הנה המפה על הדוגמה 4, 6, 6, 8, 11 - אותה תמונה תלווה אתכם בכל שאלה בתרגול.
שש כרטיסיות תזכורת
שישה מושגים ממדדי המרכז של כיתה י׳ (3 יח״ל), בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: משלושת מדדי המרכז, דרך החציון למספר זוגי והממוצע המשוקלל מטבלת שכיחויות, ועד השפעת הערך החריג. ואז לתרגול המדורג.
ממוצע (חשבוני)
מחברים את כל הנתונים ומחלקים במספרם: ממוצע = סכום הנתוניםמספר הנתונים. עבור 4, 6, 6, 8, 11 מקבלים 355 = 7.
שכיח
הערך שמופיע הכי הרבה פעמים בסדרה. ב-4, 6, 6, 8, 11 הערך 6 מופיע פעמיים וכולם פעם אחת, ולכן השכיח הוא 6. יכולים להיות כמה שכיחים או אף שכיח.
חציון
מסדרים מהקטן לגדול; החציון הוא הערך האמצעי. אם מספר הנתונים אי-זוגי - זה הערך היחיד באמצע; אם זוגי - ממוצע שני האמצעיים. ב-4, 6, 6, 8, 11 החציון הוא 6.
חציון במספר זוגי של נתונים
כשיש מספר זוגי של נתונים, אין ערך אמצעי יחיד, ולכן לוקחים את ממוצע שני הערכים האמצעיים. ב-3, 5, 8, 10 החציון הוא 5 + 82 = 6.5.
ממוצע משוקלל מטבלת שכיחויות
כשנתון חוזר כמה פעמים, מכפילים כל ערך בשכיחות שלו, מחברים, ומחלקים בסך השכיחויות: ממוצע = Σ (ערך · שכיחות)Σ שכיחות.
השפעת ערך חריג
ערך חריג (גבוה או נמוך במיוחד) מזיז את הממוצע במידה רבה, כי הוא נכנס לתוך הסכום. את החציון הוא כמעט לא מזיז, כי החציון תלוי רק במיקום האמצעי ולא בגודל הקצוות. לכן בנתונים עם חריגים החציון מייצג טוב יותר.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד. השיטה קבועה: מסדרים, סופרים, ומחשבים כל מדד בנפרד. אותה שיטה תעבוד בתרגול.
- ממוצע: מחברים ומחלקים: 4 + 6 + 6 + 8 + 115 = 355 = 7.
- שכיח: הערך 6 חוזר פעמיים, כל השאר פעם אחת, ולכן השכיח הוא 6.
- חציון: הנתונים כבר מסודרים, יש 5 נתונים, והאמצעי (השלישי) הוא 6.
- ממוצע = 7, שכיח = 6, חציון = 6.
- סך השכיחויות: 3 + 4 + 3 = 10 נתונים בסך הכול.
- סכום משוקלל: 2·3 + 5·4 + 9·3 = 6 + 20 + 27 = 53.
- ממוצע משוקלל: 5310 = 5.3.
- הממוצע המשוקלל הוא 5.3 (השכיח הוא 5, עם השכיחות הגבוהה ביותר).
- הסדרה הראשונה: ממוצע 3705 = 74, וחציון 74 (הערך האמצעי).
- מחליפים 70 בערך חריג 8: הסכום יורד ב-62, ולכן הממוצע החדש הוא 3085 = 61.6.
- החציון: אחרי סידור 8, 72, 74, 76, 78 האמצעי עדיין 74.
- הממוצע צנח מ-74 ל-61.6, אך החציון נשאר 74 - הוכחה שהחריג משפיע על הממוצע הרבה יותר.
תרגול מדורג - מדדי מרכז
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: קריאה ישירה של מדד בודד; חישוב ממוצע, חציון וטבלת שכיחויות; ערך חריג, ערך חסר וממוצע משוקלל; ועד ניתוח, בחירת מדד ואיתור טעות ברמת בגרות. כל השאלות מבוססות על ההגדרות של כיתה י׳ 3 יח״ל, והתשובות יוצאות נקיות. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ ולעבור ללשונית "מדדי מרכז" שמחשבת את כל המדדים מרשימת מספרים. בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1ממוצע: סכום הנתונים חלקי מספרם. רגיש לערכים חריגים.
- 2שכיח: הערך שחוזר הכי הרבה פעמים. יכול להיות אחד, כמה, או אף אחד.
- 3חציון: אחרי סידור - הערך האמצעי (או ממוצע שני האמצעיים במספר זוגי).
- 4ממוצע משוקלל: Σ(ערך·שכיחות) חלקי Σ שכיחות מטבלת שכיחויות.
- 5ערך חריג: מזיז את הממוצע חזק, ואת החציון כמעט לא.
| המדד | הכלל | דוגמה |
|---|---|---|
| ממוצע | סכום הנתונים חלקי מספרם | 355 = 7 |
| שכיח | הערך הנפוץ ביותר | 6 |
| חציון | האמצעי בסדר עולה | 6 |
| חציון לזוגי | ממוצע שני האמצעיים | (5 + 8) / 2 = 6.5 |
| ממוצע משוקלל | Σ(ערך·שכיחות) חלקי Σ שכיחות | 5310 = 5.3 |
