מדדי המרכז: ממוצע, שכיח, חציון
שלושה מספרים שמסכמים סדרת נתונים שלמה בערך מרכזי אחד. נלמד לחשב כל אחד מהם, מתי כדאי להשתמש בו, ולמה ערך חריג מזיז את הממוצע הרבה יותר מאשר את החציון. שנו את הנתונים במעבדה וראו הכול משתנה בזמן אמת.
איזה מספר "מייצג" כיתה? נניח שבמבחן קיבלו התלמידים ציונים 70, 72, 74, 76 ו-78 - הממוצע 74 מספר יפה ומייצג. אבל אם תלמיד אחד קיבל 8 במקום 78, הממוצע צונח ל-60, בעוד שרוב הכיתה מעל 70. הערך החריג "משך" את הממוצע כלפי מטה. החציון, לעומת זאת, כמעט לא זז. כאן נבין למה, ומתי כל מדד עדיף.
האנטומיה של סדרת נתונים
כדי לחשב מדדי מרכז מסדרים תחילה את הנתונים מהקטן לגדול. אז החציון הוא הערך האמצעי, השכיח הוא הערך שחוזר הכי הרבה פעמים, והממוצע הוא הסכום חלקי מספר הנתונים. הנה המפה על הדוגמה: 4, 6, 6, 8, 11.
מה מרכיב סטטיסטיקה תיאורית
שישה מושגים שייתנו לכם שליטה מלאה במדדי המרכז. נסו לשנות את הנתונים במעבדה שלמעלה תוך כדי קריאה, וצפו איך כל מדד מגיב אחרת.
ממוצע (חשבוני)
מחברים את כל הנתונים ומחלקים במספרם: ממוצע = סכום הנתוניםמספר הנתונים. עבור 4, 6, 6, 8, 11 מקבלים 355 = 7.
שכיח
הערך שמופיע הכי הרבה פעמים בסדרה. ב-4, 6, 6, 8, 11 הערך 6 מופיע פעמיים וכולם פעם אחת, ולכן השכיח הוא 6. יכולים להיות כמה שכיחים או אף שכיח.
חציון
מסדרים מהקטן לגדול; החציון הוא הערך האמצעי. אם מספר הנתונים אי-זוגי - זה הערך היחיד באמצע; אם זוגי - ממוצע שני האמצעיים. ב-4, 6, 6, 8, 11 החציון הוא 6.
חציון במספר זוגי של נתונים
כשיש מספר זוגי של נתונים, אין ערך אמצעי יחיד, ולכן לוקחים את ממוצע שני הערכים האמצעיים. ב-3, 5, 8, 10 החציון הוא 5 + 82 = 6.5.
ממוצע משוקלל מטבלת שכיחויות
כשנתון חוזר כמה פעמים, מכפילים כל ערך בשכיחות שלו, מחברים, ומחלקים בסך השכיחויות: ממוצע = Σ (ערך · שכיחות)Σ שכיחות.
השפעת ערך חריג
ערך חריג (גבוה או נמוך במיוחד) מזיז את הממוצע במידה רבה, כי הוא נכנס לתוך הסכום. את החציון הוא כמעט לא מזיז, כי החציון תלוי רק במיקום האמצעי ולא בגודל הקצוות. לכן בנתונים עם חריגים החציון מייצג טוב יותר.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד, בסגנון שאלות הבגרות. שימו לב לשיטה: מסדרים, סופרים, ומחשבים כל מדד בנפרד.
- ממוצע: מחברים ומחלקים: 4 + 6 + 6 + 8 + 115 = 355 = 7.
- שכיח: הערך 6 חוזר פעמיים, כל השאר פעם אחת, ולכן השכיח הוא 6.
- חציון: הנתונים כבר מסודרים, יש 5 נתונים, והאמצעי (השלישי) הוא 6.
- ממוצע = 7, שכיח = 6, חציון = 6.
- סך השכיחויות: 3 + 4 + 3 = 10 נתונים בסך הכול.
- סכום משוקלל: 2·3 + 5·4 + 9·3 = 6 + 20 + 27 = 53.
- ממוצע משוקלל: 5310 = 5.3.
- הממוצע המשוקלל הוא 5.3 (השכיח הוא 5, עם השכיחות הגבוהה ביותר).
- הסדרה הראשונה: ממוצע 3705 = 74, וחציון 74 (הערך האמצעי).
- מחליפים 70 בערך חריג 8: הסכום יורד ב-62, ולכן הממוצע החדש הוא 3085 = 61.6.
- החציון: אחרי סידור 8, 72, 74, 76, 78 האמצעי עדיין 74.
- הממוצע צנח מ-74 ל-61.6, אך החציון נשאר 74 - הוכחה שהחריג משפיע על הממוצע הרבה יותר.
תרגול אינטראקטיבי
תרגול מקיף בשלוש רמות: יסוד (חישוב ישיר של מדד), יישום (בעיה מילולית וטבלת שכיחויות) ורמת בגרות (שאלה רב-שלבית עם נימוק). בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ בכפתור שבפינה.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1ממוצע: סכום הנתונים חלקי מספרם. רגיש לערכים חריגים.
- 2שכיח: הערך שחוזר הכי הרבה פעמים. יכול להיות אחד, כמה, או אף אחד.
- 3חציון: אחרי סידור - הערך האמצעי (או ממוצע שני האמצעיים במספר זוגי).
- 4ממוצע משוקלל: Σ(ערך·שכיחות) חלקי Σ שכיחות מטבלת שכיחויות.
- 5ערך חריג: מזיז את הממוצע חזק, ואת החציון כמעט לא.
