גאומטריה אנליטית: ישרים · תרגול מדורג

תרגול ישרים במישור

כל מה שלמדנו על נקודות וישרים - מרחק d = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)², אמצע הקטע, שיפוע m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁), משוואת הישר y = mx + b, וישרים מקבילים (m₁ = m₂) וניצבים (m₁·m₂ = -1) - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מחישוב בודד ועד ניתוח ואיתור טעות ברמת בגרות. זכרו את הלב של הכול: קודם מזהים שיעורים, מחשבים את Δx ו-Δy, ומציבים בנוסחה המתאימה.

מעבדת הישרים - בחרו את התוצאה בחרו בכל שורה את התוצאה הנכונה - מרחק, שיפוע, b, ניצב, מקביל או אמצע - לפי הנוסחה המתאימה

בכל שורה בחרו את התוצאה הנכונה לפי נוסחאות הישרים: מרחק = Δx² + Δy², שיפוע = Δy / Δx, b מהצבה ב-y = mx + b, וישרים מקבילים כשהשיפועים שווים / ניצבים כש-m₁·m₂ = -1. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". שיפוע = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) · ניצב: השיפוע ההופכי הנגדי · אמצע-x = (x₁ + x₂) / 2

מרחק, שיפוע או ישר? אותן שתי נקודות, כמה שאלות שונות - וכולן נשענות על אותם הפרשים. "מה המרחק?" - d = Δx² + Δy², פיתגורס במישור. "מה השיפוע?" - m = Δy / Δx. "מה משוואת הישר?" - מציבים שיפוע ונקודה ב-y = mx + b ומחלצים את b. ולבסוף: מקבילים אם השיפועים שווים, ניצבים אם m₁·m₂ = -1. תמיד מתחילים באותו צעד: מזהים שיעורים ומחשבים את Δx ו-Δy. נעבור כאן על הנוסחאות, ומשם לתרגול המדורג.

מבט מקרוב

האנטומיה של קטע וישר - תזכורת

נזכר שוב במבנה: לכל קטע במישור שתי נקודות קצה, ולכל נקודה שני שיעורים. מההפרשים Δx = x₂ - x₁ ו-Δy = y₂ - y₁ נגזרים מרחק, אמצע ושיפוע, ומתוך השיפוע ונקודה - משוואת הישר y = mx + b. הנה התמונה המלאה על הדוגמה, הנקודות A(1, 2) ו-B(4, 6) - קודם זהו את השיעורים ואת ההפרשים.

הגדלים של הקטע AB - על A(1, 2), B(4, 6)

תזכורת לפני התרגול

שש כרטיסיות תזכורת

שישה מושגים מגאומטריה אנליטית של 4 יח״ל, בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: מנקודה וההפרשים, דרך מרחק, אמצע ושיפוע, ועד משוואת הישר ומקבילות/ניצבות. ואז לתרגול המדורג.

נקודה ושיעורים

כל נקודה נכתבת כזוג סדור (x, y): השיעור הראשון אופקי והשני אנכי. הראשית היא (0, 0).

מרחק בין שתי נקודות

לפי משפט פיתגורס: d = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)². עם שלשה פיתגורית השורש יוצא שלם, למשל מ-(1, 2) ל-(4, 6) יוצא 5.

אמצע וקצה מהאמצע

האמצע הוא ממוצע השיעורים: M = (x₁ + x₂2, y₁ + y₂2). ואם ידוע האמצע וקצה אחד: x₂ = 2x_M - x₁.

שיפוע הישר

השיפוע הוא קצב השינוי m = y₂ - y₁x₂ - x₁, והוא גם tan הזווית עם ציר ה-x. חיובי עולה, שלילי יורד, אפס אופקי; בישר אנכי אין שיפוע מוגדר.

משוואת הישר y = mx + b

הצורה המפורשת היא y = mx + b. משיפוע ונקודה מציבים ומחלצים את b: דרך (2, 1) בשיפוע 3 יוצא y = 3x - 5.

מקבילים וניצבים

שני ישרים מקבילים אם השיפועים שווים: m₁ = m₂. הם ניצבים אם מכפלת השיפועים היא -1: m₁·m₂ = -1 (שיפוע ההופכי הנגדי).

m₁ = m₂

שיפועים שווים - ישרים מקבילים

m₁·m₂ = -1

מכפלת שיפועים -1 - ישרים ניצבים

נפתור יחד

דוגמאות פתורות

שלוש דוגמאות צעד אחר צעד. השיטה קבועה: מזהים שיעורים, מחשבים את Δx ו-Δy, ומציבים בנוסחה המתאימה - מרחק, אמצע, שיפוע, משוואת ישר או תנאי ניצבות. אותה שיטה תעבוד בתרגול.

דוגמה 1A(1, 2), B(4, 6) - מרחק, אמצע ושיפוע

מרחק: מציבים בנוסחה d = (4 - 1)² + (6 - 2)² = 9 + 16 = 25 = 5.
אמצע: ממצעים כל שיעור: M = (1 + 42, 2 + 62) = (2.5, 4).
שיפוע: m = 6 - 24 - 1 = 43 - קצב חיובי, ולכן הישר עולה.
אורך AB = 5, האמצע (2.5, 4), והשיפוע 43.

דוגמה 2ישר דרך (2, 1) בשיפוע m = 3

הצורה: מתחילים מ-y = mx + b עם m = 3, כלומר y = 3x + b.
הצבת הנקודה: הנקודה (2, 1) על הישר, אז 1 = 3·2 + b, כלומר 1 = 6 + b.
חילוץ b: מעבירים אגף: b = 1 - 6 = -5.
משוואת הישר היא y = 3x - 5.

דוגמה 3ישר ניצב ל-y = 12x + 3 דרך הראשית

תנאי הניצבות: שני ישרים ניצבים אם m₁·m₂ = -1. כאן m₁ = 12.
חילוץ השיפוע: מ-12·m₂ = -1 מקבלים m₂ = -2 (השיפוע ההופכי הנגדי).
דרך הראשית: הישר עובר דרך (0, 0), אז b = 0.
משוואת הישר הניצב היא y = -2x.

תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול מדורג - ישרים במישור

ניקוד: 0 / 0

ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: מרחק, אמצע ושיפוע בסיסי; שיפוע ומשוואת הישר y = mx + b; מקבילות, ניצבות וקצה מהאמצע; ועד ניתוח, איתור טעות וטענות נכון או לא נכון ברמת בגרות. כל המרחקים יוצאים שלמים (שלשות פיתגוריות), והשיפועים, ה-b והאמצעים נקיים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "שתי נקודות וישר". בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

שליטה

0חדש

0בלימוד

0בחזרה

0שולט

הנקודות שכדאי לזכור

1מרחק: d = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² - משפט פיתגורס במישור.
2אמצע וקצה: M = (x₁ + x₂2, y₁ + y₂2), וקצה מהאמצע x₂ = 2x_M - x₁.
3שיפוע: m = y₂ - y₁x₂ - x₁ - חיובי עולה, שלילי יורד, אפס אופקי, אנכי לא מוגדר.
4ישר: y = mx + b - את b מחלצים מהצבת שיפוע ונקודה.
5מקבילים / ניצבים: מקבילים אם m₁ = m₂, ניצבים אם m₁·m₂ = -1.

מרחק, שיפוע, ישר וניצבות במבט אחד
הנתון	החישוב	התוצאה
(0, 0), (3, 4)	3² + 4² = 25	d = 5
(1, 2), (4, 8)	(8 - 2)/(4 - 1) = 63	m = 2 · עולה
(2, 4), (8, 6)	((2+8)/2, (4+6)/2)	M = (5, 5)
(2, 1), m = 3	1 = 3·2 + b	y = 3x - 5
m = 2, ניצב	2·m = -1	m = -12 · ניצב

מפתח פתרונות (תרגול)