גאומטריה אנליטית

שתי נקודות - וכל הישר ידוע

כשמניחים נקודות על מערכת צירים, אלגברה ומרחב נפגשים: מרחק (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)², אמצע קטע, שיפוע כקצב שינוי, ומשוואת הישר y = mx + b. גררו את שתי הנקודות במעבדה וראו הכול מתעדכן בזמן אמת.

מעבדת הנקודות והישר גררו את A ו-B וצפו במרחק, באמצע ובשיפוע

y = 1.33x + 0.67

מרחק 5 אמצע (2.5, 4) שיפוע 1.33 A (1, 2) B (4, 6)

A - שיעור x1

A - שיעור y2

B - שיעור x4

B - שיעור y6

איך GPS מודד מרחק? כל מכשיר ניווט מתרגם שתי נקודות על מפה לזוג שיעורים (x, y), ואז מפעיל בדיוק את הנוסחה שנלמד כאן: המרחק בקו ישר הוא (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² - משפט פיתגורס בתחפושת. באותו אופן מוצאים את נקודת האמצע של הקטע ואת השיפוע של הכביש. בדף הזה נהפוך כל שאלה גאומטרית למשוואה שאפשר לפתור.

מבט מקרוב

האנטומיה של קטע וישר

לכל שתי נקודות במישור מתלווים אותם גדלים בדיוק: מרחק, נקודת אמצע, שיפוע, והישר היחיד שעובר דרכן. כשמזהים אותם, כל שאלה אנליטית נפתחת. הנה המפה המלאה על הדוגמה - הנקודות A(1, 2) ו-B(4, 6):

הגדלים של הקטע AB - על A(1, 2), B(4, 6)

נכיר צעד אחר צעד

מה מרכיב גאומטריה אנליטית

שישה מושגים שנותנים שליטה מלאה בנקודות ובישרים, בדיוק כפי שהם נדרשים ב-4 יח״ל. נסו לגרור את הנקודות במעבדה שלמעלה תוך כדי קריאה, וצפו איך כל גודל מגיב.

נקודה ושיעורים

כל נקודה במישור מיוצגת בזוג סדור (x, y): השיעור הראשון הוא המרחק האופקי מציר ה-y, והשני האנכי מציר ה-x. שני מספרים - ומיקום יחיד ומדויק.

מרחק בין שתי נקודות

המרחק בין (x₁, y₁) ל-(x₂, y₂) הוא d = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)². זהו משפט פיתגורס על ההפרשים. לדוגמה מ-(1, 2) ל-(4, 6) יוצא 5.

נקודת האמצע

אמצע הקטע הוא ממוצע השיעורים: M = (x₁ + x₂2, y₁ + y₂2). עבור (2, 3) ו-(8, 7) מקבלים (5, 5).

מציאת קצה מהאמצע

אם ידועים האמצע M וקצה אחד, מוצאים את הקצה השני כי M הוא הממוצע: x₂ = 2x_M - x₁ ו-y₂ = 2y_M - y₁. אמצע (3, 4) וקצה (1, 2) נותנים (5, 6).

שיפוע הישר

השיפוע הוא קצב השינוי m = y₂ - y₁x₂ - x₁, והוא גם tan של הזווית שבין הישר לציר ה-x. חיובי - עולה, שלילי - יורד. שני ישרים מקבילים אם השיפועים שווים.

משוואת הישר

הצורה המפורשת היא y = mx + b (הסתומה: Ax + By + C = 0). משיפוע ונקודה מציבים לקבל את b: דרך (2, 1) בשיפוע 3 יוצא y = 3x - 5. ישרים ניצבים אם m₁·m₂ = -1.

m₁ = m₂

שיפועים שווים - ישרים מקבילים

m₁·m₂ = -1

מכפלת שיפועים -1 - ישרים ניצבים

נפתור יחד

דוגמאות פתורות

שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 4 יח״ל. שימו לב לשיטה - היא חוזרת על עצמה: מרחק ואמצע מנוסחאות, שיפוע כקצב שינוי, ומשוואת הישר מהצבה.

דוגמה 1A(1, 2), B(4, 6)

מרחק: מציבים בנוסחה d = (4 - 1)² + (6 - 2)² = 9 + 16 = 25 = 5.
אמצע: ממצעים כל שיעור: M = (1 + 42, 2 + 62) = (2.5, 4).
שיפוע: m = 6 - 24 - 1 = 43 - קצב חיובי, ולכן הישר עולה.
אורך AB = 5, האמצע (2.5, 4), והשיפוע 43.

דוגמה 2ישר דרך (2, 1) בשיפוע m = 3

הצורה: מתחילים מ-y = mx + b עם m = 3, כלומר y = 3x + b.
הצבת הנקודה: הנקודה (2, 1) על הישר, אז 1 = 3·2 + b, כלומר 1 = 6 + b.
חילוץ b: מעבירים אגף: b = 1 - 6 = -5.
משוואת הישר היא y = 3x - 5.

דוגמה 3אמצע M(3, 4), קצה A(1, 2) - למצוא את B

הרעיון: M הוא ממוצע הקצוות, לכן x_M = x_A + x_B2 ובדומה ל-y.
שיעור x: מ-3 = 1 + x_B2 מקבלים x_B = 2·3 - 1 = 5.
שיעור y: מ-4 = 2 + y_B2 מקבלים y_B = 2·4 - 2 = 6.
הקצה השני הוא B(5, 6).

תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול אינטראקטיבי

ניקוד: 0 / 0

תרגול מקיף בשלוש רמות: יסוד (מרחק, אמצע ושיפוע ישירים), יישום (חילוץ קצה, משוואת ישר ומקבילות/ניצבות), ורמת בגרות (שאלה רב-שלבית עם נימוק). פתרו סט, ועברו לסט הבא עם החצים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר הנקודות והישר".

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

שליטה

0חדש

0בלימוד

0בחזרה

0שולט

הנקודות שכדאי לזכור

1מרחק: d = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² - פיתגורס על ההפרשים.
2אמצע: M = (x₁ + x₂2, y₁ + y₂2) - ממוצע השיעורים.
3קצה מהאמצע: x₂ = 2x_M - x₁, y₂ = 2y_M - y₁.
4שיפוע: m = y₂ - y₁x₂ - x₁ - קצב שינוי ו-tan הזווית עם ציר x.
5ישר: y = mx + b; מקבילים אם m₁ = m₂, ניצבים אם m₁·m₂ = -1.

מפתח פתרונות (תרגול)