תרגול הנגזרת ומשוואת המשיק
כל מה שלמדנו על הנגזרת של 4 יח״ל, עכשיו לתרגול: עם כלל החזקה (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹, נגזרת של סכום וכפל בקבוע, גוזרים כל פולינום; מציבים נקודה בנגזרת כדי לקבל את שיפוע המשיק m = f'(x₀), וכותבים את משוואת המשיק y - y₀ = f'(x₀)(x - x₀). כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מגזירה ישירה ועד שאלה רב-שלבית ואיתור טעות ברמת מבחן.
בכל שורה בחרו את התשובה הנכונה - נגזרת, שיפוע המשיק, נגזרת של קבוע או x שבו המשיק אופקי. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". כלל החזקה (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹ · שיפוע המשיק = f'(x₀) · נגזרת של קבוע = 0
אותה שיטה, כל פונקציה. נתונה פונקציה כמו f(x) = x³ - 6x² + 9x, ומיד גוזרים אותה איבר-איבר עם כלל החזקה ומקבלים f'(x) = 3x² - 12x + 9. רוצים את שיפוע המשיק בנקודה? מציבים אותה בנגזרת. רוצים את משוואת המשיק? מוסיפים את הנקודה. נרענן כאן את השיטה, ומשם לתרגול המדורג - אותה שיטה שחוזרת על עצמה בכל שאלה בבגרות.
האנטומיה של המשיק - תזכורת
נזכר שוב: בנקודת מגע אחת על הגרף נפגשים כמה מושגים - הנקודה (x₀, f(x₀)), המשיק שנוגע בגרף שם, ושיפוע המשיק שהוא בדיוק f'(x₀). הנה המפה על הדוגמה f(x) = x² בנקודה (1, 1), שם השיפוע f'(1) = 2 והמשיק y = 2x - 1 - ואותה שיטה תעזור לכם בכל שאלה בתרגול.
שש כרטיסיות תזכורת
שישה מושגים מהנגזרת של 4 יח״ל, בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: מהנגזרת כשיפוע המשיק ועד משוואת המשיק. ואז לתרגול המדורג.
הנגזרת = שיפוע המשיק
הנגזרת f'(x) היא שיפוע המשיק לגרף f בנקודה - גבול קצב השינוי הרגעי. שיפוע חיובי פירושו שהפונקציה עולה שם, ושיפוע שלילי שהיא יורדת.
כלל החזקה
הכלל המרכזי לגזירת פולינום: (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹. מורידים את החזקה כמקדם ומקטינים אותה ב-1. למשל (x³)' = 3x² ו-(x²)' = 2x.
כפל בקבוע ונגזרת של קבוע
קבוע כופל נשמר בגזירה: (c·f)' = c·f', ולכן (5x²)' = 10x. נגזרת של קבוע לבדו היא 0 (לישר האופקי אין שיפוע).
נגזרת של סכום
גוזרים איבר-איבר: (f + g)' = f' + g'. לכן f(x) = x³ - 6x² + 9x נותנת f'(x) = 3x² - 12x + 9 - כל איבר בנפרד.
שיפוע המשיק בנקודה
כדי לקבל את השיפוע בנקודה x₀ מציבים אותה בנגזרת: השיפוע הוא f'(x₀). למשל ל-f(x) = x² יש f'(x) = 2x, ובנקודה x = 3 השיפוע הוא 2·3 = 6.
משוואת המשיק
המשיק בנקודה (x₀, y₀) הוא ישר עם שיפוע m = f'(x₀): y - y₀ = m(x - x₀). ל-f(x) = x² בנקודה (1, 1): m = 2, ולכן y = 2x - 1.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 4 יח״ל. שימו לב לשיטה - היא חוזרת על עצמה: גוזרים, מציבים לקבל שיפוע, וכותבים את משוואת המשיק. זו בדיוק השיטה שתעבוד בתרגול.
- גוזרים: לפי כלל החזקה f'(x) = (x²)' = 2x.
- מציבים את הנקודה: השיפוע בנקודה x = 3 הוא f'(3) = 2·3 = 6.
- שיפוע המשיק לגרף f(x) = x² בנקודה x = 3 הוא 6.
- גוזרים איבר-איבר: (x³)' = 3x², (-6x²)' = -12x, (9x)' = 9.
- מחברים: f'(x) = 3x² - 12x + 9.
- שיפוע לדוגמה: בנקודה x = 1 מקבלים f'(1) = 3 - 12 + 9 = 0 - המשיק אופקי.
- הנגזרת היא f'(x) = 3x² - 12x + 9, ובנקודה x = 1 שיפוע המשיק הוא 0.
- גוזרים ומציבים: f'(x) = 2x, ולכן השיפוע בנקודה הוא m = f'(1) = 2·1 = 2.
- משוואת המשיק: y - y₀ = m(x - x₀), כלומר y - 1 = 2(x - 1).
- מפשטים: y - 1 = 2x - 2, ולכן y = 2x - 1.
- משוואת המשיק ל-f(x) = x² בנקודה (1, 1) היא y = 2x - 1.
תרגול מדורג - הנגזרת ומשוואת המשיק
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: גזירה ישירה והצבה (כלל החזקה, נגזרת של קבוע, כפל בקבוע); נגזרת פולינום, שיפוע בנקודה ומשוואת משיק; פולינום מורכב יותר, מקדם בנגזרת ומשיק אופקי; ועד שאלה רב-שלבית ואיתור טעות ברמת מבחן. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר הנגזרת" שגוזר f(x) = ax³ + bx² + cx + d ומוצא את המשיק עבורכם. בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1הנגזרת: f'(x) היא שיפוע המשיק - גבול קצב השינוי.
- 2כלל החזקה: (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹.
- 3סכום וקבוע: גוזרים איבר-איבר, קבוע כופל נשמר, ונגזרת של קבוע היא 0.
- 4שיפוע בנקודה: מציבים בנגזרת - m = f'(x₀).
- 5משוואת המשיק: y - y₀ = f'(x₀)(x - x₀).
| הכלל | הניסוח | דוגמה |
|---|---|---|
| כלל החזקה | (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹ | (x³)' = 3x² |
| כפל בקבוע | (c·f)' = c·f' | (5x²)' = 10x |
| נגזרת של קבוע | (c)' = 0 | (7)' = 0 |
| סכום והפרש | (f ± g)' = f' ± g' | (x³ - 6x² + 9x)' = 3x² - 12x + 9 |
| שיפוע המשיק | m = f'(x₀) | x² ב-x=3 → 2·3 = 6 |
| משוואת המשיק | y - y₀ = f'(x₀)(x - x₀) | x² ב-(1,1) → y = 2x - 1 |
