שיפוע המשיק בכל נקודה על הגרף
הנגזרת f'(x) נותנת את שיפוע המשיק לגרף בכל נקודה - קצב השינוי הרגעי של הפונקציה. עם כלל החזקה (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹, נגזרת של סכום וכפל בקבוע, גוזרים כל פולינום. גררו את הנקודה במעבדה וראו את המשיק והשיפוע f'(x) משתנים בזמן אמת.
מהו שיפוע של עקומה? לישר יש שיפוע אחד קבוע - אבל לגרף מעוקל השיפוע משתנה מנקודה לנקודה. הרעיון הגדול של החשבון הדיפרנציאלי: בכל נקודה מותחים את הישר המשיק לגרף, והשיפוע שלו הוא הנגזרת f'(x) - גבול קצב השינוי באותה נקודה. בדף הזה נלמד לגזור פולינום, למצוא את שיפוע המשיק בנקודה, ולכתוב את משוואת המשיק.
האנטומיה של המשיק
בנקודת מגע אחת על הגרף נפגשים כמה מושגים: הנקודה (x₀, f(x₀)), המשיק שנוגע בגרף באותה נקודה, ושיפוע המשיק שהוא בדיוק f'(x₀). הנה המפה על הדוגמה f(x) = x² בנקודה (1, 1), שם השיפוע f'(1) = 2 והמשיק y = 2x - 1:
מה מרכיב את הנגזרת
שישה מושגים שנותנים שליטה מלאה בגזירת פולינומים ובמשיק, בדיוק כפי שהם נדרשים בתחילת החשבון הדיפרנציאלי ב-4 יח״ל. נסו לגרור את הנקודה במעבדה שלמעלה תוך כדי קריאה, וצפו איך השיפוע f'(x) משתנה.
הנגזרת = שיפוע המשיק
הנגזרת f'(x) היא שיפוע המשיק לגרף f בנקודה. היא נובעת מגבול קצב השינוי: השיפוע הממוצע בין שתי נקודות קרובות שואף לשיפוע הרגעי כאשר המרחק ביניהן שואף לאפס.
כלל החזקה
הכלל המרכזי לגזירת פולינום: (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹. מורידים את החזקה כמקדם ומקטינים אותה ב-1. למשל (x³)' = 3x² ו-(x²)' = 2x.
כפל בקבוע, וכלל המכפלה
קבוע כופל נשמר בגזירה: (c·f)' = c·f'. כך (6x²)' = 6·2x = 12x, והנגזרת של קבוע לבדו היא 0 (לישר האופקי אין שיפוע).
כלל המכפלה: כשגוזרים מכפלה של שתי פונקציות אי אפשר פשוט להכפיל את הנגזרות. הכלל הוא [f(x)·g(x)]' = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x): גוזרים את הראשונה ומשאירים את השנייה, ואז להפך, ומחברים. למשל [x·(x + 3)]' = 1·(x + 3) + x·1 = 2x + 3 - אותה תוצאה שמתקבלת מפתיחת הסוגריים וגזירת x² + 3x.
סכום, ופונקציה מורכבת
גוזרים איבר-איבר: (f + g)' = f' + g'. לכן f(x) = x³ - 6x² + 9x נותנת f'(x) = 3x² - 12x + 9 - כל איבר בנפרד.
פונקציה מורכבת (שני שלבים בלבד): כשיש "פונקציה בתוך פונקציה" גוזרים מבחוץ פנימה ומכפילים: [f(g(x))]' = f'(g(x)) · g'(x). למשל [(2x + 1)³]' = 3(2x + 1)² · 2 = 6(2x + 1)²: גוזרים את החזקה החיצונית, משאירים את הפנים כמו שהם, ומכפילים בנגזרת הפנים.
שיפוע המשיק בנקודה
כדי לקבל את השיפוע בנקודה x₀ מציבים אותה בנגזרת: השיפוע הוא f'(x₀). למשל ל-f(x) = x² יש f'(x) = 2x, ובנקודה x = 3 השיפוע הוא 2·3 = 6.
משוואת המשיק
המשיק בנקודה (x₀, y₀) הוא ישר עם שיפוע m = f'(x₀): y - y₀ = m(x - x₀). ל-f(x) = x² בנקודה (1, 1): m = 2, ולכן y = 2x - 1.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד, בסגנון תחילת החשבון הדיפרנציאלי ב-4 יח״ל. שימו לב לשיטה - היא חוזרת על עצמה: גוזרים, מציבים לקבל שיפוע, וכותבים את משוואת המשיק.
- גוזרים: לפי כלל החזקה f'(x) = (x²)' = 2x.
- מציבים את הנקודה: השיפוע בנקודה x = 3 הוא f'(3) = 2·3 = 6.
- שיפוע המשיק לגרף f(x) = x² בנקודה x = 3 הוא 6.
- גוזרים איבר-איבר: (x³)' = 3x², (-6x²)' = -12x, (9x)' = 9.
- מחברים: f'(x) = 3x² - 12x + 9.
- שיפוע לדוגמה: בנקודה x = 1 מקבלים f'(1) = 3 - 12 + 9 = 0 - המשיק אופקי.
- הנגזרת היא f'(x) = 3x² - 12x + 9, ובנקודה x = 1 שיפוע המשיק הוא 0.
- גוזרים ומציבים: f'(x) = 2x, ולכן השיפוע בנקודה הוא m = f'(1) = 2·1 = 2.
- משוואת המשיק: y - y₀ = m(x - x₀), כלומר y - 1 = 2(x - 1).
- מפשטים: y - 1 = 2x - 2, ולכן y = 2x - 1.
- משוואת המשיק ל-f(x) = x² בנקודה (1, 1) היא y = 2x - 1.
תרגול אינטראקטיבי
תרגול מקיף בשלוש רמות: יסוד (גזירה ישירה והצבה), יישום (שיפוע בנקודה ומשוואת משיק), ורמת בגרות (שאלה רב-שלבית עם נימוק). פתרו סט, ועברו לסט הבא עם החצים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר הנגזרת".
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1הנגזרת: f'(x) היא שיפוע המשיק - גבול קצב השינוי.
- 2כלל החזקה: (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹.
- 3סכום וקבוע: גוזרים איבר-איבר, וקבוע כופל נשמר: (c·f)' = c·f'.
- 4שיפוע בנקודה: מציבים בנגזרת - m = f'(x₀).
- 5משוואת המשיק: y - y₀ = f'(x₀)·(x - x₀).
- 6כלל המכפלה: [f·g]' = f'·g + f·g' - לא מכפלת הנגזרות.
- 7פונקציה מורכבת: [f(g(x))]' = f'(g(x)) · g'(x) - מבחוץ פנימה, ומכפילים בנגזרת הפנים.
