תרגול משוואות ואי-שוויונות ל-4 יח״ל
כל מה שלמדנו על משוואות ואי-שוויונות - פירוק לגורמים ונוסחת השורשים למשוואה ax² + bx + c = 0, שיטת התחומים לאי-שוויון ריבועי, מערכת של פרבולה וישר, ומשוואת שבר עם תחום הצבה - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מפתרון ישיר ועד איתור טעות ושאלה רב-שלבית ברמת בגרות. זכרו את הכלל: פרבולה כלפי מעלה חיובית מחוץ לשורשים ושלילית ביניהם, ובמשוואת שבר בודקים תמיד את תחום ההצבה.
בכל שורה בחרו את התשובה הנכונה - פתרון משוואה, פתרון אי-שוויון, תחום ההצבה או מספר הפתרונות. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". כלפי מעלה: > 0 מחוץ לשורשים · < 0 בין השורשים · במשוואת שבר בודקים תמיד את תחום ההצבה
לא צריך לנחש. משוואה ריבועית שואלת איפה הפרבולה חוצה את ציר ה-x - אלה השורשים, שמוצאים בפירוק לגורמים או בנוסחת השורשים. אי-שוויון ריבועי שואל מתי הפרבולה מעל הציר או מתחתיו - כלפי מעלה חיובית מחוץ לשורשים ושלילית ביניהם. ובמשוואת שבר קודם כל קובעים תחום הצבה. נעבור כאן על השיטות בקצרה, ואז לתרגול המדורג.
האנטומיה של הפתרון - תזכורת
נזכר שוב במפה: למשוואה ריבועית ולאי-שוויון הריבועי המתאים לו יש אותה תמונה בדיוק - הפרבולה, שני השורשים, והתחומים שביניהם ומחוצה להם. הנה זה על הדוגמה x² - x - 6: השורשים -2 ו-3 פותרים את המשוואה, והתחומים שמחוצה להם פותרים את x² - x - 6 > 0. אותה תמונה תעזור לכם בכל שאלה בתרגול.
שש כרטיסיות תזכורת
שישה כלים ממשוואות ואי-שוויונות של 4 יח״ל, בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: מפירוק ונוסחת השורשים, דרך שיטת התחומים ומערכת פרבולה-ישר, ועד משוואת שבר ובדיקת תחום ההצבה. ואז לתרגול המדורג.
פירוק לגורמים
אם ax² + bx + c = 0 מתפרק ל-(x - r₁)(x - r₂) = 0, אז הפתרונות הם r₁ ו-r₂. למשל x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) נותן x = 2 או x = 3.
נוסחת השורשים
כשהפירוק לא מיידי, משתמשים ב-x = -b ± b² - 4ac2a. הביטוי Δ = b² - 4ac קובע: Δ > 0 שני פתרונות, Δ = 0 פתרון יחיד, Δ < 0 אין פתרון ממשי.
אי-שוויון ריבועי
שיטת התחומים: מוצאים קודם את השורשים, מסמנים אותם על ציר ה-x, ובודקים סימן בכל תחום. עבור פרבולה שנפתחת כלפי מעלה, > 0 מחוץ לשורשים ו-< 0 ביניהם.
מערכת ריבועית-לינארית
למערכת y = x², y = x + 2 משווים את האגפים: x² = x + 2, מסדרים ל-x² - x - 2 = 0 ופותרים. נקודות המפגש הן x = 2 ו-x = -1.
משוואה עם שבר אלגברי
קודם קובעים את תחום ההצבה - המכנה לא יכול להתאפס. במשוואה x + 1x - 3 = 2 נדרש x ≠ 3, ואז מכפילים במכנה ופותרים.
בדיקת תחום ההצבה, משוואת שורש ודו-ריבועית
אחרי הפתרון תמיד בודקים שהוא בתחום. אם פתרון של משוואת שבר שווה לערך שפוסל את המכנה - פוסלים אותו (שורש זר). פתרון תקין חייב לקיים את כל תנאי התחום.
משוואת שורש: מבודדים, מעלים בריבוע, ובודקים בהצבה חזרה - העלאה בריבוע יכולה ליצור פתרון מדומה. דו-ריבועית: מציבים t = x², פותרים ריבועית רגילה, וחוזרים ל-x; כל t חיובי מחזיר שני ערכי x.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 4 יח״ל: משוואה ריבועית בפירוק, אי-שוויון ריבועי בשיטת התחומים, ומשוואה עם שבר אלגברי ותחום הצבה. שימו לב לשיטה שחוזרת - וזו בדיוק השיטה שתעבוד בתרגול.
- מנסים פירוק לגורמים: מחפשים שני מספרים שמכפלתם 6 וסכומם 5 - אלה 2 ו-3.
- כותבים כמכפלה: (x - 2)(x - 3) = 0, ולכן x - 2 = 0 או x - 3 = 0.
- אימות בנוסחת השורשים: Δ = (-5)² - 4·1·6 = 1, ואז x = 5 ± 12, כלומר 3 או 2.
- הפתרונות הם x = 2 או x = 3.
- מוצאים שורשים: פותרים x² - x - 6 = 0, מפרקים ל-(x + 2)(x - 3) = 0, ומקבלים x = -2 ו-x = 3.
- מסמנים על ציר x: שני השורשים מחלקים את הישר לשלושה תחומים: x < -2, -2 < x < 3, x > 3.
- בודקים סימן: המקדם a = 1 > 0, אז הפרבולה נפתחת כלפי מעלה - חיובית מחוץ לשורשים ושלילית ביניהם.
- פתרון האי-שוויון > 0: x < -2 או x > 3.
- תחום הצבה: המכנה לא יכול להתאפס, לכן x - 3 ≠ 0, כלומר x ≠ 3.
- מכפילים במכנה: x + 1 = 2(x - 3), כלומר x + 1 = 2x - 6.
- מסדרים: 1 + 6 = 2x - x, ולכן x = 7.
- הפתרון x = 7 מקיים x ≠ 3 - לכן תקין.
תרגול מדורג - משוואות ואי-שוויונות
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: פתרון ישיר (פירוק, דיסקרימיננטה ומשוואת שבר); שיטת התחומים ומערכת פרבולה-ישר; נוסחת השורשים, סימן חלש ופסילת שורש זר; ועד איתור טעות ושאלה רב-שלבית ברמת בגרות. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר משוואות". בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1פירוק: (x - r₁)(x - r₂) = 0 נותן פתרונות r₁, r₂.
- 2נוסחת השורשים: x = -b ± b² - 4ac2a, והסימן של Δ קובע כמה פתרונות.
- 3אי-שוויון: שורשים על ציר x + סימן. כלפי מעלה: > 0 מחוץ לשורשים, < 0 ביניהם; חלש (≤, ≥) כולל אותם.
- 4מערכת: משווים אגפים, x² = x + 2, מסדרים לריבועית ופותרים.
- 5שבר אלגברי: קובעים תחום (מכנה ≠ 0), פותרים, ופוסלים שורש זר שמאפס את המכנה.
| המצב | הכלל | דוגמה |
|---|---|---|
| משוואה ריבועית - פירוק | שני מספרים במכפלה c ובסכום -b | x² - 5x + 6 = 0 → x = 2, 3 |
| נוסחת השורשים | Δ = b² - 4ac קובע כמה פתרונות | 2x² - 7x + 3 = 0 → x = 3, 0.5 |
| אי-שוויון, כלפי מעלה > 0 | מחוץ לשורשים - שני קטעים | x² - x - 6 > 0 → x < -2 או x > 3 |
| אי-שוויון, כלפי מעלה < 0 | בין השורשים - קטע אחד | x² - x - 6 < 0 → -2 < x < 3 |
| מערכת פרבולה-ישר | משווים אגפים, פותרים ריבועית | y = x², y = x + 2 → x = 2, -1 |
| משוואת שבר + תחום | מכנה ≠ 0, ופוסלים שורש זר | (x² - 9)/(x - 3) = 0 → x = -3 |
