לפתור כל משוואה ריבועית ואי-שוויון
פירוק לגורמים ונוסחת השורשים למשוואה ax² + bx + c = 0, שיטת התחומים לאי-שוויון ריבועי, מערכת של פרבולה וישר, ומשוואה עם שבר אלגברי ותחום הצבה. גררו את הישר במעבדה, סמנו את פתרון האי-שוויון על ציר ה-x, וראו איך הכול מתחבר.
מתי משהו שווה לאפס, ומתי הוא חיובי? משוואה ריבועית שואלת איפה הפרבולה חוצה את ציר ה-x - אלה השורשים. אי-שוויון ריבועי שואל מתי הפרבולה מעל הציר או מתחתיו - אלה תחומים שלמים. בדף הזה נלמד את שתי השאלות יחד: פירוק לגורמים, נוסחת השורשים, שיטת התחומים, מערכת פרבולה-ישר ומשוואת שבר - בדיוק כפי שהן מופיעות בבגרות של 4 יח״ל.
האנטומיה של הפתרון
למשוואה ריבועית ולאי-שוויון הריבועי המתאים לו יש אותה תמונה בדיוק: הפרבולה, שני השורשים, והתחומים שביניהם ומחוצה להם. הנה המפה על הדוגמה x² - x - 6: השורשים -2 ו-3 פותרים את המשוואה, והתחומים שמחוץ להם פותרים את x² - x - 6 > 0:
הכלים לפתרון
שישה כלים שנותנים שליטה מלאה בכל משוואה ואי-שוויון של 4 יח״ל. נסו לגרור את הישר במעבדה שלמעלה תוך כדי קריאה, וצפו איך השורשים ותחום הפתרון משתנים.
פירוק לגורמים
אם ax² + bx + c = 0 מתפרק ל-(x - r₁)(x - r₂) = 0, אז הפתרונות הם r₁ ו-r₂. למשל x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) נותן x = 2 או x = 3.
נוסחת השורשים
כשהפירוק לא מיידי, משתמשים ב-x = -b ± b² - 4ac2a. הביטוי Δ = b² - 4ac קובע: Δ > 0 שני פתרונות, Δ = 0 פתרון יחיד, Δ < 0 אין פתרון ממשי.
אי-שוויון ריבועי
שיטת התחומים: מוצאים קודם את השורשים, מסמנים אותם על ציר ה-x, ובודקים סימן בכל תחום. עבור פרבולה שנפתחת כלפי מעלה, > 0 מחוץ לשורשים ו-< 0 ביניהם.
מערכת ריבועית-לינארית
למערכת y = x², y = x + 2 משווים את האגפים: x² = x + 2, מסדרים ל-x² - x - 2 = 0 ופותרים. נקודות המפגש הן x = 2 ו-x = -1.
משוואה עם שבר אלגברי
קודם קובעים את תחום ההצבה - המכנה לא יכול להתאפס. במשוואה x + 1x - 3 = 2 נדרש x ≠ 3, ואז מכפילים ופותרים.
בדיקת תחום ההצבה, ומשוואת שורש
אחרי הפתרון תמיד בודקים שהוא בתחום. אם פתרון של משוואת שבר שווה לערך שפוסל את המכנה - פוסלים אותו. פתרון תקין חייב לקיים את כל תנאי התחום.
משוואה אי-רציונלית (משוואה עם שורש) נפתרת בשלושה שלבים: מבודדים את השורש, מעלים בריבוע, ובודקים הצבה חזרה. הבדיקה אינה טכנית - העלאה בריבוע יכולה ליצור "פתרון" שאינו מקיים את המשוואה המקורית. למשל x + 3 = 4 נותן x + 3 = 16 ולכן x = 13, ובבדיקה 16 = 4 ✓. בנוסף, הביטוי שתחת השורש חייב להיות אי-שלילי.
משוואה דו-ריבועית נפתרת בהצבה: במשוואה x⁴ - 5x² + 4 = 0 מציבים t = x² ומקבלים משוואה ריבועית רגילה t² - 5t + 4 = 0 שפתרונותיה t = 1 ו-t = 4. חוזרים אחורה: x² = 1 נותן x = ±1, ו-x² = 4 נותן x = ±2 - סך הכול ארבעה פתרונות. שימו לב: t שלילי לא היה נותן פתרון כלל.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 4 יח״ל: משוואה ריבועית, אי-שוויון ריבועי בשיטת התחומים, ומשוואה עם שבר אלגברי ותחום הצבה.
- מנסים פירוק לגורמים: מחפשים שני מספרים שמכפלתם 6 וסכומם 5 - אלה 2 ו-3.
- כותבים כמכפלה: (x - 2)(x - 3) = 0, ולכן x - 2 = 0 או x - 3 = 0.
- אימות בנוסחת השורשים: Δ = (-5)² - 4·1·6 = 1, ואז x = 5 ± 12, כלומר 3 או 2.
- הפתרונות הם x = 2 או x = 3.
- מוצאים שורשים: פותרים x² - x - 6 = 0, מפרקים ל-(x + 2)(x - 3) = 0, ומקבלים x = -2 ו-x = 3.
- מסמנים על ציר x: שני השורשים מחלקים את הישר לשלושה תחומים: x < -2, -2 < x < 3, x > 3.
- בודקים סימן: המקדם a = 1 > 0, אז הפרבולה נפתחת כלפי מעלה - חיובית מחוץ לשורשים ושלילית ביניהם.
- פתרון האי-שוויון > 0: x < -2 או x > 3.
- תחום הצבה: המכנה לא יכול להתאפס, לכן x - 3 ≠ 0, כלומר x ≠ 3.
- מכפילים במכנה: x + 1 = 2(x - 3), כלומר x + 1 = 2x - 6.
- מסדרים: 1 + 6 = 2x - x, ולכן x = 7.
- הפתרון x = 7 מקיים x ≠ 3 - לכן תקין.
תרגול אינטראקטיבי
תרגול מקיף בשלוש רמות: יסוד (פתרון ישיר - פירוק, שורש, תחום), יישום (שיטת התחומים ומערכת ריבועית-לינארית), ורמת בגרות (שאלה רב-שלבית עם נימוק). פתרו סט, ועברו לסט הבא עם החצים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר משוואות".
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1פירוק: (x - r₁)(x - r₂) = 0 נותן פתרונות r₁, r₂.
- 2נוסחת השורשים: x = -b ± b² - 4ac2a, והסימן של Δ קובע כמה פתרונות.
- 3אי-שוויון: שורשים על ציר x + סימן. כלפי מעלה: > 0 מחוץ לשורשים.
- 4מערכת: משווים אגפים, x² = x + 2, מסדרים לריבועית ופותרים.
- 5שבר אלגברי: קובעים תחום (מכנה ≠ 0), פותרים, ובודקים שהפתרון בתחום.
- 7משוואת שורש: מבודדים, מעלים בריבוע, ובודקים בהצבה חזרה. דו-ריבועית: מציבים t = x², פותרים, וחוזרים ל-x.
