תרגול הסימן של פולינום
כל מה שלמדנו על פולינום מפורק לגורמים - תחום ההגדרה, החיתוכים עם הצירים (השורשים וחיתוך ה-y), ולוח הסימנים שקובע איפה f חיובית ואיפה שלילית - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מקריאת שורש בודד ועד חקירת סימן מלאה ואיתור טעות ברמת בגרות. זכרו את השיטה: גורמים ← שורשים ← חיתוך עם y ← בדיקת נקודה בכל קטע.
בכל שורה בחרו את התשובה הנכונה. הפולינום כתוב כמכפלת גורמים - קראו ממנו את השורשים (כל גורם (x - r) מתאפס ב-x = r), הציבו x = 0 לחיתוך עם ציר ה-y, ובדקו נקודה אחת בכל קטע כדי לדעת את הסימן. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". גורמים ← שורשים ← חיתוך y ← בדיקת נקודה לסימן
איפה הפונקציה חיובית ואיפה שלילית? זו השאלה שפותחת כל חקירת פולינום, ובדף הזה נתרגל אותה עד שתהיה אוטומטית. הטריק לא משתנה: כותבים את הפולינום כמכפלת גורמים, מסמנים על ציר ה-x את השורשים - הנקודות שבהן הפונקציה מתאפסת - והם מחלקים את הישר לקטעים. בכל קטע הסימן קבוע, ומספיק לבדוק נקודה אחת. נזכיר את כל השלבים בקצרה, ואז לתרגול המדורג.
האנטומיה של הסימן - תזכורת
נזכר שוב במבנה: לכל פולינום מפורק לגורמים יש אותו סיפור - השורשים מחלקים את ציר ה-x לקטעים, ובכל קטע הסימן קבוע. הנה המפה על הדוגמה f(x) = (x - 1)(x - 3) - שני שורשים, שלושה קטעים, וחיתוך עם ציר ה-y ב-(0, 3). אותה תמונה תלווה אתכם בכל שאלה בתרגול.
שש כרטיסיות תזכורת
שישה מושגים שנותנים שליטה מלאה בכל פולינום מפורק, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: מתחום ההגדרה, דרך החיתוכים עם הצירים, ועד לוח הסימנים ותחומי החיוביות והשליליות. ואז לתרגול המדורג.
תחום ההגדרה
לפולינום תחום ההגדרה הוא כל הישר - כל x ממשי. ההגבלות מופיעות רק כשיש מכנה: תחום ההגדרה של f(x) = 1x - 2 הוא כל x ≠ 2, כי אסור שהמכנה יתאפס.
חיתוכים עם ציר x
אלה השורשים - הנקודות שבהן f(x) = 0. כל גורם (x - r) נותן שורש x = r. בדוגמה (x - 1)(x - 3) השורשים הם 1 ו-3, כלומר (1, 0) ו-(3, 0).
חיתוך עם ציר y
מציבים x = 0. בדוגמה f(0) = (0 - 1)(0 - 3) = (-1)(-3) = 3, ולכן החיתוך עם ציר ה-y הוא (0, 3).
לוח הסימנים
השורשים מחלקים את ציר ה-x לקטעים. בכל קטע הסימן של f קבוע, ולכן מספיק לבחור נקודה אחת בכל קטע ולבדוק את סימנה. שני שורשים יוצרים שלושה קטעים.
תחומי חיוביות
אלה הקטעים שבהם f(x) > 0 - הגרף מעל ציר ה-x. בדוגמה: f > 0 עבור x < 1 או x > 3.
תחומי שליליות
אלה הקטעים שבהם f(x) < 0 - הגרף מתחת לציר ה-x. בדוגמה: f < 0 עבור 1 < x < 3. הסימן מתחלף בכל שורש פשוט.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד. השיטה קבועה: שורשים ← חיתוך עם y ← לוח סימנים ← תחומי חיוביות ושליליות. אותה שיטה תעבוד בתרגול.
- שורשים (חיתוכים עם ציר x): כל גורם מתאפס: x - 1 = 0 נותן x = 1, ו-x - 3 = 0 נותן x = 3. כלומר (1, 0) ו-(3, 0).
- חיתוך עם ציר y: מציבים x = 0: f(0) = (-1)(-3) = 3, כלומר (0, 3).
- לוח סימנים: השורשים 1 ו-3 מחלקים לשלושה קטעים. בודקים נקודה בכל קטע: ב-x = 0 מקבלים (-)(-) = +; ב-x = 2 מקבלים (+)(-) = -; ב-x = 4 מקבלים (+)(+) = +.
- תחום חיוביות: x < 1 או x > 3. תחום שליליות: 1 < x < 3.
- שורשים: x + 2 = 0 נותן x = -2, ו-x - 4 = 0 נותן x = 4. החיתוכים (-2, 0) ו-(4, 0).
- חיתוך עם ציר y: f(0) = (2)(-4) = -8, כלומר (0, -8).
- לוח סימנים: נקודות בדיקה - ב-x = -3: (-)(-) = +; ב-x = 0: (+)(-) = -; ב-x = 5: (+)(+) = +.
- תחום חיוביות: x < -2 או x > 4. תחום שליליות: -2 < x < 4.
- תחום ההגדרה: המכנה אסור שיתאפס: x - 2 ≠ 0, ולכן x ≠ 2 - כל שאר הישר מותר.
- חיתוך עם ציר x: מונה קבוע 1 ≠ 0 לעולם, ולכן אין שורש - הגרף אינו חוצה את ציר ה-x.
- סימן: המונה חיובי תמיד, אז הסימן נקבע רק מהמכנה: ב-x > 2 המכנה חיובי ו-f > 0; ב-x < 2 המכנה שלילי ו-f < 0.
- תחום הגדרה x ≠ 2; f > 0 עבור x > 2, ו-f < 0 עבור x < 2.
תרגול מדורג - שורשים, חיתוכים וסימן
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: קריאת שורש, חיתוך ותחום הגדרה ישירות; לוח סימנים ותחומי חיוביות ושליליות; שבר, שורש כפול ומקדם מוביל; ועד חקירת סימן מלאה ואיתור טעות ברמת בגרות. כל השאלות מבוססות על השיטות שבדף הלימוד של כיתה י׳ 4 יח״ל, והתשובות יוצאות נקיות. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר הסימן" שמנתחת a(x - r₁)(x - r₂) מקצה לקצה. בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1תחום הגדרה: לפולינום - כל x. עם מכנה - מוציאים את מה שמאפס אותו (x ≠ 2).
- 2חיתוכים עם x: השורשים - כל גורם (x - r) = 0 נותן x = r.
- 3חיתוך עם y: מציבים x = 0 - כאן (0, 3).
- 4לוח סימנים: השורשים מחלקים לקטעים, ובכל קטע בודקים נקודה אחת.
- 5סימן: f > 0 מעל הציר, f < 0 מתחתיו; הסימן מתחלף בכל שורש פשוט (בשורש כפול לא).
| השלב | הכלל | דוגמה (על (x - 1)(x - 3)) |
|---|---|---|
| שורשים (חיתוכי x) | כל גורם (x - r) = 0 | x = 1, x = 3 |
| חיתוך עם y | מציבים x = 0 | (0, 3) |
| תחום חיוביות | f מעל הציר | x < 1 או x > 3 |
| תחום שליליות | f מתחת לציר | 1 < x < 3 |
| תחום הגדרה | פולינום - כל x | כל x ממשי |
