נדב כץלמידה ברמה אחרת
מתמטיקה · י׳ · 4 יח״ל 4 יחידות
פונקציות פולינום

הסימן של פולינום - קוראים אותו מהגורמים

כשפולינום כתוב כמכפלת גורמים, כמו f(x) = (x - 1)(x - 3), הכול נפתח מיד: החיתוכים עם הצירים הם השורשים, ובין שורש לשורש הסימן מתחלף. במעבדה תזיזו את השורשים ותראו את לוח הסימנים ואת החיתוכים משתנים בזמן אמת.

מעבדת הסימן הזיזו את השורשים וצפו בלוח הסימנים
f(x) = (x - 1)(x - 3)
חיתוך y (0, 3) שורשים x = 1, 3 f > 0 x<1 או x>3 f < 0 1<x<3
שורש ראשון r₁1
שורש שני r₂3
מקדם מוביל a1

איפה הפונקציה חיובית ואיפה שלילית? זו בדיוק השאלה שפותחת כל חקירת פולינום. הטריק פשוט: כותבים את הפולינום כמכפלת גורמים, מסמנים על ציר ה-x את השורשים - הנקודות שבהן הפונקציה מתאפסת - והם מחלקים את הישר לקטעים. בכל קטע הסימן קבוע, ומספיק לבדוק נקודה אחת כדי לדעת אם הפונקציה מעל הציר או מתחתיו. לוח הסימנים הזה הוא הכלי שילווה אתכם עד הבגרות.

מבט מקרוב

האנטומיה של הסימן

לכל פולינום מפורק לגורמים יש אותו סיפור: השורשים מחלקים את ציר ה-x לקטעים, ובכל קטע הסימן קבוע. הנה המפה המלאה על הדוגמה f(x) = (x - 1)(x - 3) - שני שורשים, שלושה קטעים, וחיתוך עם ציר ה-y ב-(0, 3):

הסימן בכל קטע - על f(x) = (x - 1)(x - 3)
y x (1, 0) (3, 0) חיתוך עם ציר y (0, 3) לוח הסימנים של f(x) = (x − 1)(x − 3) 1 3 + − +
נכיר צעד אחר צעד

מה מרכיב ניתוח סימן

שישה מושגים שנותנים שליטה מלאה בכל פולינום מפורק, בדיוק כפי שהם נדרשים ב-4 יח״ל. נסו לשנות את השורשים במעבדה שלמעלה תוך כדי קריאה, וצפו איך לוח הסימנים מגיב.

1

תחום ההגדרה

לפולינום תחום ההגדרה הוא כל הישר - כל x ממשי. ההגבלות מופיעות רק כשיש מכנה: תחום ההגדרה של f(x) = 1x - 2 הוא כל x ≠ 2, כי אסור שהמכנה יתאפס.

2

חיתוכים עם ציר x

אלה השורשים - הנקודות שבהן f(x) = 0. כשהפולינום מפורק, כל גורם (x - r) נותן שורש x = r. בדוגמה (x - 1)(x - 3) השורשים הם 1 ו-3, כלומר (1, 0) ו-(3, 0).

3

חיתוך עם ציר y

מציבים x = 0. בדוגמה f(0) = (0 - 1)(0 - 3) = (-1)(-3) = 3, ולכן החיתוך עם ציר ה-y הוא (0, 3).

4

לוח הסימנים

השורשים מחלקים את ציר ה-x לקטעים. בכל קטע הסימן של f קבוע, ולכן מספיק לבחור נקודה אחת בכל קטע ולבדוק את סימנה. שני שורשים יוצרים שלושה קטעים.

5

תחומי חיוביות

אלה הקטעים שבהם f(x) > 0 - הגרף מעל ציר ה-x. בדוגמה: f > 0 עבור x < 1 או x > 3.

6

תחומי שליליות

אלה הקטעים שבהם f(x) < 0 - הגרף מתחת לציר ה-x. בדוגמה: f < 0 עבור 1 < x < 3. שימו לב שהסימן מתחלף בכל שורש פשוט.

+
f > 0
f > 0 - הגרף מעל ציר ה-x
−
f < 0
f < 0 - הגרף מתחת לציר ה-x
נפתור יחד

דוגמאות פתורות

שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 4 יח״ל. השיטה חוזרת: שורשים ← חיתוך עם y ← לוח סימנים ← תחומי חיוביות ושליליות.

דוגמה 1f(x) = (x - 1)(x - 3)
  1. שורשים (חיתוכים עם ציר x): כל גורם מתאפס: x - 1 = 0 נותן x = 1, ו-x - 3 = 0 נותן x = 3. כלומר (1, 0) ו-(3, 0).
  2. חיתוך עם ציר y: מציבים x = 0: f(0) = (-1)(-3) = 3, כלומר (0, 3).
  3. לוח סימנים: השורשים 1 ו-3 מחלקים לשלושה קטעים. בודקים נקודה בכל קטע: ב-x = 0 מקבלים (-)(-) = +; ב-x = 2 מקבלים (+)(-) = -; ב-x = 4 מקבלים (+)(+) = +.
  4. תחום חיוביות: x < 1 או x > 3. תחום שליליות: 1 < x < 3.
דוגמה 2f(x) = (x + 2)(x - 4)
  1. שורשים: x + 2 = 0 נותן x = -2, ו-x - 4 = 0 נותן x = 4. החיתוכים (-2, 0) ו-(4, 0).
  2. חיתוך עם ציר y: f(0) = (2)(-4) = -8, כלומר (0, -8).
  3. לוח סימנים: נקודות בדיקה - ב-x = -3: (-)(-) = +; ב-x = 0: (+)(-) = -; ב-x = 5: (+)(+) = +.
  4. תחום חיוביות: x < -2 או x > 4. תחום שליליות: -2 < x < 4.
דוגמה 3f(x) = 1x - 2
  1. תחום ההגדרה: המכנה אסור שיתאפס: x - 2 ≠ 0, ולכן x ≠ 2 - כל שאר הישר מותר.
  2. חיתוך עם ציר x: מונה קבוע 1 ≠ 0 לעולם, ולכן אין שורש - הגרף אינו חוצה את ציר ה-x.
  3. סימן: המונה חיובי תמיד, אז הסימן נקבע רק מהמכנה: ב-x > 2 המכנה חיובי ו-f > 0; ב-x < 2 המכנה שלילי ו-f < 0.
  4. תחום הגדרה x ≠ 2; f > 0 עבור x > 2, ו-f < 0 עבור x < 2.
תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול אינטראקטיבי

ניקוד: 0 / 0

תרגול מקיף בשלוש רמות: יסוד (שורש, חיתוך, סימן ישיר), יישום (לוח סימנים ותחומים מלאים), ורמת בגרות (חקירת סימן רב-שלבית). פתרו סט, ועברו לסט הבא עם החצים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר הסימן".

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

0%
שליטה
0חדש
0בלימוד
0בחזרה
0שולט

הנקודות שכדאי לזכור

  • 1תחום הגדרה: לפולינום - כל x. עם מכנה - מוציאים את מה שמאפס אותו (x ≠ 2).
  • 2חיתוכים עם x: השורשים - כל גורם (x - r) = 0 נותן x = r.
  • 3חיתוך עם y: מציבים x = 0 - כאן (0, 3).
  • 4לוח סימנים: השורשים מחלקים לקטעים, ובכל קטע בודקים נקודה אחת.
  • 5סימן: f > 0 מעל הציר, f < 0 מתחתיו; הסימן מתחלף בכל שורש פשוט.
מפתח פתרונות (תרגול)

    גררו את השורשים במעבדה. לוח הסימנים והחיתוכים מתעדכן איתם מיד.

    תצוגת דף עבודה כל השאלות פתוחות, בלי מענה אינטראקטיבי