תרגול הסתברות
כל מה שלמדנו על הסתברות - מרחב מדגם ומאורע לפי P = רצוייםכל המקרים, מאורע משלים P(A') = 1 - P(A), איחוד וחיתוך לפי P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B), ומכפלה לאורך עץ דו-שלבי - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מחישוב מאורע בודד ועד ניתוח רב-שלבי ואיתור טעות ברמת בגרות. זכרו את השיטה: סופרים את מרחב המדגם, ואז בוחרים כלי - משלים, איחוד-חיתוך, או עץ.
בכל שורה בחרו את התשובה הנכונה - חשבו הסתברות פשוטה, מאורע משלים, איחוד או חיתוך, או מכפלה לאורך ענפי עץ דו-שלבי. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". P = רצויים : כל המקרים · P(לא A) = 1 - P(A) · P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
מה הסיכוי? זריקת קובייה, הטלת מטבע, שליפת כדור ממכד - בכל אחד יש מרחב מדגם של תוצאות אפשריות, ומאורע הוא קבוצת התוצאות שמעניינת אותנו. ההסתברות היא היחס בין מספר התוצאות הרצויות לגודל המרחב. נזכיר כאן את כל הכלים - משלים, איחוד, חיתוך ועץ דו-שלבי - ואחר כך לתרגול המדורג. זכרו: ל"לפחות אחד" נוח לעבור למשלים, ובעץ בלי החזרה מעדכנים את המונה והמכנה אחרי השליפה הראשונה.
האנטומיה של מאורע - תזכורת
נזכר שוב במבנה: מרחב המדגם Ω, מאורע A בתוכו, המאורע המשלים A', וכשיש שני מאורעות - החיתוך A∩B והאיחוד A∪B. הנה המפה המלאה על הטלת קובייה הוגנת, שבה A = "מספר זוגי" ו-B = "מספר גדול מ-3" - אותה תמונה תלווה אתכם בכל שאלה בתרגול.
שש כרטיסיות תזכורת
שישה מושגים מפרק ההסתברות של כיתה י׳ (4 יח״ל), בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: ממרחב המדגם והמאורע הפשוט, דרך המשלים, האיחוד והחיתוך, ועד דיאגרמת עץ דו-שלבית. ואז לתרגול המדורג.
מרחב מדגם ומאורע
מרחב המדגם Ω הוא אוסף כל התוצאות האפשריות. מאורע A הוא תת-קבוצה שלו, וכשכל התוצאות שוות-סיכוי P(A) = |A||Ω|. תמיד 0 ≤ P(A) ≤ 1.
קובייה הוגנת
בהטלת קובייה Ω = {1,2,3,4,5,6}. "מספר זוגי" הוא {2,4,6}, ולכן P(זוגי) = 36 = 12. סופרים את הרצויים ומחלקים ב-6.
מאורע משלים
המשלים A' הוא "לא A". תמיד P(A') = 1 - P(A). זהו הכלי המהיר ל"לפחות אחד": מחשבים את ההסתברות שאף אחד לא קרה, ומחסירים מ-1.
חיתוך: A וגם B
החיתוך A∩B הוא התוצאות המשותפות. אם המאורעות בלתי תלויים, P(A∩B) = P(A)·P(B). אם הם זרים (אין תוצאה משותפת), P(A∩B) = 0.
איחוד: A או B, ודיאגרמת ון
האיחוד A∪B הוא כל מה שבתוך אחד משני העיגולים לפחות: P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B). בדיאגרמת ון - מלבן ל-Ω ובתוכו שני עיגולים - רואים מיד למה מחסירים: אזור החפיפה נספר פעמיים בחיבור. עיגולים זרים ⟵ אין חפיפה ⟵ P(A∩B) = 0.
דיאגרמת ון מציירת את הפעולות: מלבן למרחב המדגם, עיגול לכל מאורע. החפיפה היא A ∩ B, וכל השטח המכוסה הוא A ∪ B. מהציור רואים מיד למה בנוסחת האיחוד מחסרים את החיתוך - אחרת אזור החפיפה נספר פעמיים.
דיאגרמת עץ דו-שלבית
הסתברות של מסלול היא מכפלת ההסתברויות לאורכו. במכד עם 5 אדומים ו-3 כחולים ושליפת 2 בלי החזרה: P(שניהם אדומים) = 58·47 = 514.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד. השיטה קבועה: מזהים את מרחב המדגם, ואז בוחרים כלי - משלים, איחוד-חיתוך, או עץ. אותה שיטה תעבוד בתרגול.
- מרחב מדגם: Ω = {1,2,3,4,5,6}, כלומר |Ω| = 6.
- המאורעות: A = {2,4,6} ולכן P(A) = 36 = 12; B = {4,5,6} ולכן P(B) = 12.
- חיתוך: A∩B = {4,6}, ולכן P(A∩B) = 26 = 13.
- איחוד: P(A∪B) = 12 + 12 - 13 = 23.
- אכן A∪B = {2,4,5,6} - 4 מתוך 6 = 23 ≈ 0.667.
- מרחב מדגם: לכל הטלה 2 תוצאות, ולכן |Ω| = 2·2·2 = 8 מסלולים שווי-סיכוי.
- עוברים למשלים: "לפחות עץ אחד" קשה לספור ישירות; המשלים הוא "אף פעם לא עץ" - פלי בכל שלוש ההטלות.
- המשלים: מסלול יחיד (פלי-פלי-פלי), ולכן P(אין עץ) = 18.
- מחסירים מ-1: P(לפחות עץ אחד) = 1 - 18 = 78.
- התשובה 78 = 0.875. שיטת המשלים חוסכת ספירה של 7 מסלולים.
- סה״כ כדורים: 5 + 3 = 8 לפני השליפה הראשונה.
- שליפה ראשונה (ענף): ההסתברות לאדום היא 58.
- שליפה שנייה בלי החזרה: נשארו 7 כדורים ובהם 4 אדומים, ולכן 47.
- מכפלת המסלול: P(שניהם אדומים) = 58·47 = 2056 = 514.
- התשובה 514 ≈ 0.357 - מכפילים לאורך ענפי העץ, בלי החזרה.
תרגול מדורג - הסתברות
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: חישוב מאורע בודד ומשלים; איחוד, חיתוך ומאורעות בלתי תלויים; עץ דו-שלבי בלי החזרה ו"לפחות אחד"; ועד ניתוח רב-שלבי, בחירת חישוב ואיתור טעות ברמת בגרות. כל השאלות מבוססות על ההגדרות של כיתה י׳ 4 יח״ל. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית (וגם לכתוב שבר כמו 514), ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר ההסתברות" שמחשבת איחוד, חיתוך, משלים ו"לפחות אחד". בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1הגדרה: P(A) = |A| / |Ω| כשכל התוצאות שוות-סיכוי, ותמיד 0 ≤ P ≤ 1.
- 2משלים: P(A') = 1 - P(A) - הכלי ל"לפחות אחד".
- 3איחוד: P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B).
- 4חיתוך (בלתי תלויים): P(A∩B) = P(A)·P(B); זרים P(A∩B) = 0.
- 5עץ דו-שלבי: מכפילים לאורך המסלול; בלי החזרה - מעדכנים את המונה והמכנה.
| הכלי | הכלל | דוגמה |
|---|---|---|
| מאורע פשוט | רצויים חלקי כל המקרים | P(even) = 36 = 0.5 |
| משלים | 1 פחות ההסתברות של המאורע | 1 - 0.3 = 0.7 |
| איחוד | P(A) + P(B) - P(A and B) | 0.5 + 0.5 - 13 = 23 |
| חיתוך (בלתי תלויים) | מכפלת ההסתברויות | 0.6 * 0.5 = 0.3 |
| עץ בלי החזרה | מכפלה לאורך המסלול | 58 * 47 = 514 |
| לפחות אחד | 1 פחות "אף אחד" | 1 - 18 = 78 |
