נדב כץלמידה ברמה אחרת
מתמטיקה · י׳ · 4 יח״ל 4 יחידות
הסתברות

לחשב את הסיכוי של כל מאורע

הסתברות מודדת עד כמה מאורע צפוי לקרות: P = מספר התוצאות הרצויותגודל מרחב המדגם. נלמד מאורע משלים, איחוד וחיתוך לפי P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B), ולנתח ניסויים דו-שלביים בעזרת דיאגרמת עץ. שנו את המספרים במעבדה וראו איך המרחב וההסתברויות משתנים.

מעבדת ההסתברות בנו מרחב מדגם ועץ דו-שלבי, וקראו את P(A∪B) ו-P(A∩B)
מכד: 5 אדומים, 3 כחולים
P(אדום ראשון) 58 P(שניהם אדומים) 514 P(לפחות אדום) 2528 P(שונים) 1528
כדורים אדומים5
כדורים כחולים3

מה הסיכוי? זריקת קובייה, הטלת מטבע, שליפת כדור ממכד - בכל אחד יש אוסף תוצאות אפשריות שנקרא מרחב המדגם, ומאורע הוא קבוצה של תוצאות שמעניינת אותנו. ההסתברות היא היחס בין מספר התוצאות הרצויות לגודל המרחב. בדף הזה נלמד לספור נכון, לחבר מאורעות באיחוד ובחיתוך, ולנתח ניסוי דו-שלבי עם דיאגרמת עץ - בדיוק כמו בבגרות.

מבט מקרוב

האנטומיה של מאורע

לכל בעיית הסתברות יש אותם חלקים: מרחב המדגם Ω, מאורע A בתוכו, המאורע המשלים A', וכשיש שני מאורעות - החיתוך A∩B והאיחוד A∪B. הנה המפה המלאה על הטלת קובייה הוגנת, שבה A = "מספר זוגי" ו-B = "מספר גדול מ-3":

מרחב מדגם של קובייה - A = זוגי, B = גדול מ-3
מרחב המדגם Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 1 2 3 4 5 6 A = זוגי {2,4,6} B = גדול מ-3 {4,5,6} A∩B = {4,6} P(A) = 3/6 = 1/2 P(A∩B) = 2/6 = 1/3 P(A∪B) = 1/2 + 1/2 − 1/3 = 2/3 מחסירים את החיתוך {4,6} כדי לא לספור אותו פעמיים
נכיר צעד אחר צעד

מה מרכיב חישוב הסתברות

שישה מושגים שנותנים שליטה מלאה בכל בעיית הסתברות ברמת 4 יח״ל. נסו לשנות במעבדה שלמעלה את גודל המרחב ואת המאורעות תוך כדי קריאה, וצפו איך ההסתברויות מגיבות.

1

מרחב מדגם ומאורע

מרחב המדגם Ω הוא אוסף כל התוצאות האפשריות של הניסוי. מאורע A הוא תת-קבוצה שלו, וההסתברות שלו היא P(A) = |A||Ω| כשכל התוצאות שוות-סיכוי. תמיד 0 ≤ P(A) ≤ 1.

2

קובייה הוגנת

בהטלת קובייה Ω = {1,2,3,4,5,6}. המאורע "מספר זוגי" הוא {2,4,6}, ולכן P(זוגי) = 36 = 12. סופרים את התוצאות הרצויות ומחלקים ב-6.

3

מאורע משלים

המשלים A' הוא "לא A" - כל התוצאות שאינן ב-A. תמיד מתקיים P(A') = 1 − P(A). זהו הכלי המהיר לשאלות "לפחות אחד": מחשבים את ההסתברות שאף אחד לא קרה, ומחסירים מ-1.

4

חיתוך: A וגם B, ודיאגרמת ון

החיתוך A∩B הוא התוצאות ששייכות לשני המאורעות יחד - בדיאגרמת ון זהו האזור שבו שני העיגולים נחפפים. אם המאורעות בלתי תלויים (תוצאה אחת לא משפיעה על השנייה), אז P(A∩B) = P(A)·P(B). אם הם זרים - בדיאגרמת ון העיגולים אינם נוגעים - אז P(A∩B) = 0.

דיאגרמת ון היא הכלי הציורי לפעולות האלה: מציירים מלבן למרחב המדגם ובתוכו עיגול לכל מאורע. החיתוך A ∩ B הוא האזור שבו שני העיגולים חופפים, ובו נמצאות התוצאות ששייכות לשני המאורעות יחד. כשמסמנים בכל אזור את מספר התוצאות שבו, קל לקרוא ממנו כל הסתברות שנשאל עליה.

5

איחוד: A או B, וקריאה מדיאגרמת ון

האיחוד A∪B הוא כל מה שבתוך אחד משני העיגולים לפחות. דיאגרמת ון היא התמונה שמסבירה את הנוסחה: מלבן למרחב המדגם Ω, ובתוכו שני עיגולים ל-A ול-B עם אזור חפיפה. כשמחברים P(A) + P(B) סופרים את אזור החפיפה פעמיים, ולכן מחסירים אותו פעם אחת: P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B).

באותה דיאגרמת ון, האיחוד A ∪ B הוא כל השטח המכוסה בשני העיגולים יחד. מהציור רואים מיד למה מחסרים את החיתוך: אזור החפיפה נספר פעמיים כשמחברים את שני העיגולים, ולכן P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B). השטח שמחוץ לשני העיגולים מייצג את המאורע המשלים של האיחוד.

6

דיאגרמת עץ דו-שלבית

בניסוי בן שני שלבים מציירים ענפים לכל שלב, וההסתברות של מסלול היא מכפלת ההסתברויות לאורכו. במכד עם 5 אדומים ו-3 כחולים ושליפת 2 בלי החזרה: P(שניהם אדומים) = 58·47 = 514.

AB
מאורעות זרים
בדיאגרמת ון: העיגולים זרים - P(A∩B) = 0
ABA∩B
מאורעות חופפים
בדיאגרמת ון: יש חפיפה - מחסירים את P(A∩B)
נפתור יחד

דוגמאות פתורות

שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 4 יח״ל. שימו לב לשיטה: מזהים את מרחב המדגם, סופרים את המאורעות, ומיישמים משלים / איחוד-חיתוך / עץ.

דוגמה 1קובייה: A = זוגי, B = גדול מ-3
  1. מרחב מדגם: Ω = {1,2,3,4,5,6}, כלומר |Ω| = 6.
  2. המאורעות: A = {2,4,6} ולכן P(A) = 36 = 12; B = {4,5,6} ולכן P(B) = 36 = 12.
  3. חיתוך: A∩B = {4,6}, ולכן P(A∩B) = 26 = 13.
  4. איחוד: P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B) = 12 + 12 − 13 = 23.
  5. אותו דבר בדיאגרמת ון: מציירים מלבן ל-Ω ובתוכו שני עיגולים חופפים. אזור החפיפה: {4, 6} - שתי תוצאות. ב-A בלבד: {2}. ב-B בלבד: {5}. מחוץ לשני העיגולים: {1, 3}. האיחוד הוא סכום שלושת האזורים הפנימיים: 1 + 2 + 1 = 4 תוצאות - בדיוק מה שהנוסחה נתנה.
  6. אכן A∪B = {2,4,5,6} - 4 תוצאות מתוך 6, כלומר 46 = 23.
דוגמה 2מטבע הוגן מוטל 3 פעמים
  1. מרחב מדגם: לכל הטלה 2 תוצאות (עץ/פלי), ולכן |Ω| = 2·2·2 = 8 מסלולים שווי-סיכוי.
  2. נשתמש במשלים: "לפחות עץ אחד" קשה לספור ישירות; המשלים שלו הוא "אף פעם לא עץ", כלומר פלי בכל שלוש ההטלות.
  3. המשלים: יש מסלול יחיד כזה (פלי-פלי-פלי), ולכן P(אין עץ) = 18.
  4. מחסירים מ-1: P(לפחות עץ אחד) = 1 − 18 = 78.
  5. התשובה 78 = 0.875. שיטת המשלים חוסכת ספירה של 7 מסלולים.
דוגמה 3מכד: 5 אדומים ו-3 כחולים, שולפים 2 בלי החזרה
  1. סה״כ כדורים: 5 + 3 = 8 כדורים במכד לפני השליפה הראשונה.
  2. שליפה ראשונה (ענף העץ): ההסתברות לאדום היא 58.
  3. שליפה שנייה בלי החזרה: נשארו 7 כדורים ובהם 4 אדומים, ולכן ההסתברות לאדום שני היא 47.
  4. מכפלת המסלול: P(שניהם אדומים) = 58·47 = 2056 = 514.
  5. התשובה 514 ≈ 0.357 - מכפילים לאורך ענפי העץ, בלי החזרה.
תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול אינטראקטיבי

ניקוד: 0 / 0

תרגול מקיף בשלוש רמות: יסוד (מרחב מדגם, מאורע פשוט ומשלים), יישום (איחוד, חיתוך ועץ דו-שלבי), ורמת בגרות (שאלה רב-שלבית עם נימוק). פתרו סט, ועברו לסט הבא עם החצים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר ההסתברות".

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

0%
שליטה
0חדש
0בלימוד
0בחזרה
0שולט

הנקודות שכדאי לזכור

  • 1הגדרה: P(A) = |A| / |Ω| כשכל התוצאות שוות-סיכוי, ותמיד 0 ≤ P ≤ 1.
  • 2משלים: P(A') = 1 − P(A) - הכלי ל"לפחות אחד".
  • 3איחוד: P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B).
  • 4חיתוך (בלתי תלויים): P(A∩B) = P(A)·P(B); זרים ⟵ P(A∩B) = 0.
  • 5עץ דו-שלבי: מכפילים הסתברויות לאורך המסלול; בלי החזרה - מעדכנים את המונה והמכנה.
  • 7דיאגרמת ון: מלבן למרחב המדגם, עיגול לכל מאורע; החפיפה היא A ∩ B, וכל השטח המכוסה הוא A ∪ B.
מפתח פתרונות (תרגול)

    שנו את גודל המרחב ואת המאורעות. P(A∪B) ו-P(A∩B) נעים יחד מול העיניים.

    תצוגת דף עבודה כל השאלות פתוחות, בלי מענה אינטראקטיבי