תרגול חקירת שורש
כל מה שלמדנו על חקירת פונקציית שורש - תחום ההגדרה (הביטוי תחת השורש ≥ 0), נגזרת עם (x)' = 1/(2x) וכלל המכפלה, איפוס הנגזרת f'(x) = 0 למציאת קיצון, בדיקת סימן לסיווג מינימום ומקסימום, ותחומי עלייה/ירידה - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מתחום ונגזרת ישירה ועד חקירה מלאה ואיתור טעות ברמת בגרות. זכרו את השיטה: תחום → נגזרת → מאפסים את f' → בדיקת סימן → קיצון.
בכל שורה בחרו את הערך הנכון. השיטה קבועה: קודם תחום ההגדרה (הביטוי תחת השורש ≥ 0), אחר כך מאפסים את f'(x) כדי למצוא נקודת קיצון, ולחישוב ערך מציבים את ה-x חזרה בתוך f. לחיתוך עם הצירים פותרים f(x) = 0. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". תחום · מאפסים את f' · ואז מציבים
איפה בכלל מוגדרת הפונקציה? שורש של מספר שלילי אינו מוגדר במספרים הממשיים, ולכן כל חקירת שורש מתחילה בשאלה: מתי הביטוי שתחת השורש אי-שלילי? ב-f(x) = x·x+3 נדרש x + 3 ≥ 0, כלומר x ≥ -3 - זה תחום ההגדרה, ורק בתוכו גוזרים, מאפסים את הנגזרת ומוצאים קיצון. נרענן כאן את שלבי החקירה, ומשם לתרגול המדורג. זכרו: קודם תחום, אחר כך נגזרת, ורק אז איפוס וקיצון.
האנטומיה של חקירת שורש - תזכורת
נזכר שוב בשלבים: מוצאים את התחום (הביטוי תחת השורש ≥ 0), גוזרים כדי לקבל את f', מאפסים את המונה כדי למצוא נקודה חשודה לקיצון, בודקים את שינוי הסימן של f', ומסמנים עלייה/ירידה. הנה המפה המלאה על הדוגמה f(x) = x·x+3 - אותה תמונה תלווה אתכם בכל שאלה בתרגול.
שש כרטיסיות תזכורת
שישה מושגים שנותנים שליטה מלאה בחקירת כל פונקציית שורש, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד של 4 יח״ל: מתחום ההגדרה, דרך נגזרת השורש וכלל המכפלה, ועד איפוס הנגזרת, בדיקת הסימן והקיצון. ואז לתרגול המדורג.
תחום ההגדרה
הביטוי שתחת השורש חייב להיות אי-שלילי: רדיקנד ≥ 0. ב-f(x) = x·x+3 דורשים x + 3 ≥ 0, כלומר התחום הוא x ≥ -3.
נגזרת השורש
הכלל היסודי: (x)' = 1/(2x). לכן (x+3)' = 1/(2x+3). עם כלל המכפלה גוזרים את כל הפונקציה.
כלל המכפלה
ל-f = u·v הנגזרת (u·v)' = u'v + uv'. כאן u = x, v = x+3: f'(x) = x+3 + x/(2x+3).
איחוד למכנה משותף
מכנסים לשבר אחד: f'(x) = (2(x+3) + x)/(2x+3) = (3x+6)/(2x+3). הצורה הזו מקלה למצוא היכן הנגזרת מתאפסת.
קיצון: f'(x) = 0
שבר מתאפס כשהמונה מתאפס: 3x + 6 = 0, כלומר x = -2. זו הנקודה החשודה כקיצון, והיא בתוך התחום x ≥ -3.
בדיקת סימן וקיצון
משמאל ל-x = -2 הנגזרת שלילית (יורדת), מימין חיובית (עולה) - ולכן זהו מינימום. הערך: f(-2) = -2·1 = -2, כלומר מינימום ב-(-2, -2).
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד, בסגנון חקירת פונקציית שורש ב-4 יח״ל. השיטה חוזרת: תחום → נגזרת → איפוס → בדיקת סימן → קיצון. אותה שיטה תעבוד בתרגול.
- מזהים את השורש: תחת השורש נמצא הביטוי x + 3.
- דורשים אי-שליליות: x + 3 ≥ 0, ולכן x ≥ -3.
- תחום ההגדרה הוא x ≥ -3.
- כלל המכפלה: f'(x) = (x)'·x+3 + x·(x+3)'.
- גוזרים כל גורם: (x)' = 1 ו-(x+3)' = 1/(2x+3), ולכן f'(x) = x+3 + x/(2x+3).
- מכנה משותף: f'(x) = (2(x+3) + x)/(2x+3) = (3x+6)/(2x+3).
- הנגזרת היא f'(x) = (3x+6)/(2x+3).
- מאפסים את הנגזרת: שבר מתאפס כשהמונה מתאפס: 3x + 6 = 0, ולכן x = -2.
- ערך הפונקציה: f(-2) = -2·-2+3 = -2·1 = -2.
- בדיקת סימן: משמאל ל--2 המונה 3x+6 < 0 (יורדת), מימין 3x+6 > 0 (עולה) - מינימום.
- לפונקציה מינימום בנקודה (-2, -2).
תרגול מדורג - חקירת פונקציית שורש
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: תחום ונגזרת ישירה; איפוס נגזרת וקיצון; סיווג קיצון ותחומי עלייה/ירידה; ועד חקירה מלאה ואיתור טעות ברמת בגרות. כל השאלות מבוססות על שלבי החקירה של כיתה י׳ 4 יח״ל, והתשובות יוצאות נקיות. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "חוקר השורש" שמוצאת תחום, נגזרת וקיצון של כל פונקציה מהצורה a·x·x+b. בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1תחום: מתחת לשורש רדיקנד ≥ 0 - כאן x ≥ -3.
- 2נגזרת השורש: (x)' = 1/(2x), ואז כלל המכפלה.
- 3מכנה משותף: f'(x) = (3x+6)/(2x+3).
- 4קיצון: מאפסים את המונה 3x+6 = 0 ← x = -2.
- 5בדיקת סימן: יורדת→עולה = מינימום ב-(-2, -2).
