חקירת פונקציה

חקירת פונקציית שורש - תחום, נגזרת וקיצון

בפונקציית שורש כמו f(x) = x·x+3 החקירה מתחילה בתחום ההגדרה - הביטוי שתחת השורש חייב להיות ≥ 0. משם גוזרים עם (x)' = 1/(2x), מאפסים את הנגזרת כדי למצוא קיצון, בודקים סימן, ומשרטטים סקיצה. גררו את הנקודה במעבדה וראו את התחום המוצל ואת נקודת הקיצון.

מעבדת פונקציית השורש גררו את הנקודה, צפו בתחום המוצל ובנקודת הקיצון

f(x) = x·x+3

תחום ההגדרה x ≥ -3 נקודת המגע (0, 0) הנגזרת f'(x) = (3x+6)/(2x+3)

הנקודה x₀0

איפה בכלל מוגדרת הפונקציה? שורש של מספר שלילי אינו מוגדר במספרים הממשיים, ולכן לפני כל חקירה שואלים: מתי הביטוי שתחת השורש אי-שלילי? ב-f(x) = x·x+3 נדרש x + 3 ≥ 0, כלומר x ≥ -3 - זה תחום ההגדרה. רק בתוכו גוזרים, מאפסים את הנגזרת ומוצאים את הקיצון. בדף הזה נלמד לחקור פונקציית שורש מקצה לקצה: תחום, חיתוכים, נגזרת, קיצון, ותחומי עלייה/ירידה.

מבט מקרוב

האנטומיה של חקירת שורש

בחקירת פונקציית שורש נפגשים כמה מרכיבים: התחום שבו הפונקציה מוגדרת (מתחת לשורש ≥ 0), הנגזרת f'(x) שאותה מאפסים, ונקודת הקיצון שבה השיפוע מתאפס. הנה המפה על הדוגמה f(x) = x·x+3, שתחומה x ≥ -3 ולה מינימום ב-(-2, -2):

f(x) = x·x+3 - תחום x ≥ -3, מינימום ב-(-2, -2)

x+3 (-3, 0) (0, 0) f'(x) = (3x+6)/(2x+3) = 0 ⇐ x = -2

נכיר צעד אחר צעד

מה מרכיב את החקירה

שישה שלבים שנותנים חקירה מלאה של פונקציית שורש, בדיוק כפי שנדרש ב-4 יח״ל. נסו לגרור את הנקודה במעבדה שלמעלה תוך כדי קריאה, וצפו איך התחום המוצל והקיצון עובדים יחד.

תחום ההגדרה

הביטוי שתחת השורש חייב להיות אי-שלילי: רדיקנד ≥ 0. ב-f(x) = x·x+3 דורשים x + 3 ≥ 0, כלומר התחום הוא x ≥ -3.

נגזרת השורש

הכלל היסודי: (x)' = 1/(2x). לכן (x+3)' = 1/(2x+3). עם כלל המכפלה גוזרים את כל הפונקציה.

כלל המכפלה

ל-f = u·v הנגזרת (u·v)' = u'v + uv'. כאן u = x, v = x+3: f'(x) = x+3 + x/(2x+3).

איחוד למכנה משותף

מכנסים לשבר אחד: f'(x) = (2(x+3) + x)/(2x+3) = (3x+6)/(2x+3). הצורה הזו מקלה למצוא היכן הנגזרת מתאפסת.

קיצון: f'(x) = 0

שבר מתאפס כשהמונה מתאפס: 3x + 6 = 0, כלומר x = -2. זו הנקודה החשודה כקיצון, והיא בתוך התחום x ≥ -3.

בדיקת סימן וקיצון

משמאל ל-x = -2 הנגזרת שלילית (יורדת), מימין חיובית (עולה) - ולכן זהו מינימום. הערך: f(-2) = -2·1 = -2, כלומר מינימום ב-(-2, -2).

x + 3 ≥ 0

רדיקנד ≥ 0 - הפונקציה מוגדרת

x + 3 < 0

רדיקנד < 0 - מחוץ לתחום

נפתור יחד

דוגמאות פתורות

שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד, בסגנון חקירת פונקציית שורש ב-4 יח״ל. השיטה חוזרת: תחום → נגזרת → איפוס → בדיקת סימן → קיצון.

דוגמה 1תחום ההגדרה של f(x) = x·x+3

מזהים את השורש: תחת השורש נמצא הביטוי x + 3.
דורשים אי-שליליות: x + 3 ≥ 0, ולכן x ≥ -3.
תחום ההגדרה הוא x ≥ -3.

דוגמה 2הנגזרת של f(x) = x·x+3

כלל המכפלה: f'(x) = (x)'·x+3 + x·(x+3)'.
גוזרים כל גורם: (x)' = 1 ו-(x+3)' = 1/(2x+3), ולכן f'(x) = x+3 + x/(2x+3).
מכנה משותף: f'(x) = (2(x+3) + x)/(2x+3) = (3x+6)/(2x+3).
הנגזרת היא f'(x) = (3x+6)/(2x+3).

דוגמה 3קיצון של f(x) = x·x+3

מאפסים את הנגזרת: שבר מתאפס כשהמונה מתאפס: 3x + 6 = 0, ולכן x = -2.
ערך הפונקציה: f(-2) = -2·-2+3 = -2·1 = -2.
בדיקת סימן: משמאל ל--2 המונה 3x+6 < 0 (יורדת), מימין 3x+6 > 0 (עולה) - מינימום.
לפונקציה מינימום בנקודה (-2, -2).

תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול אינטראקטיבי

ניקוד: 0 / 0

תרגול מקיף בשלוש רמות: יסוד (תחום ונגזרת ישירה), יישום (איפוס נגזרת וקיצון), ורמת בגרות (חקירה רב-שלבית עם נימוק). פתרו סט, ועברו לסט הבא עם החצים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "חוקר השורש".

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

שליטה

0חדש

0בלימוד

0בחזרה

0שולט

הנקודות שכדאי לזכור

1תחום: מתחת לשורש רדיקנד ≥ 0 - כאן x ≥ -3.
2נגזרת השורש: (x)' = 1/(2x).
3כלל המכפלה: (u·v)' = u'v + uv', ואחריו מכנה משותף.
4קיצון: מאפסים את המונה של f'(x) = (3x+6)/(2x+3) ← x = -2.
5בדיקת סימן: יורדת→עולה = מינימום ב-(-2, -2).

מפתח פתרונות (תרגול)