נדב כץלמידה ברמה אחרת
מתמטיקה · י׳ · 4 יח״ל 4 יחידות
גיאומטריה דדוקטיבית · דמיון משולשים · תרגול מדורג

תרגול דמיון משולשים

כל מה שלמדנו על דמיון - שלושת משפטי הדמיון (ז.ז, צ.ז.צ ביחס, צ.צ.צ ביחס), יחס הדמיון k, ולצידו יחס ההיקפים k, יחס השטחים k² והישר המקביל לצלע (תאלס) - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מחישוב יחס וצלע מתאימה ועד הוכחת דמיון ואיתור טעות ברמת בגרות. זכרו את השיטה: מבססים דמיון, מוצאים את k, ורק אז מחשבים אורך, היקף או שטח.

מעבדת הדמיון - בחרו את התשובה בכל שורה בחרו את היחס או האורך הנכון - צלע מתאימה, יחס היקפים, יחס שטחים או קטע פרופורציונלי

בכל שורה בחרו את התשובה הנכונה. זכרו: צלע מתאימה = צלע · k, יחס ההיקפים = k, יחס השטחים = k², ומיחס שטחים k = השורש של היחס. ישר מקביל לצלע יוצר משולש דומה, ואז DE = k · BC. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". קודם מבססים דמיון ומוצאים את k · ואז מחשבים אורך, היקף או שטח

אותה צורה, גודל אחר. שני משולשים דומים הם אותה צורה בשני גדלים: כל הזוויות המתאימות שוות, וכל הצלעות המתאימות עומדות באותו יחס - יחס הדמיון k. מכאן ההיקף גדל פי k, אבל השטח - שתלוי בשתי מידות - גדל פי k². נזכיר כאן את משפטי הדמיון ואת יחסי האורך, ההיקף והשטח, ומשם לתרגול. זכרו: קודם מבססים דמיון (ז.ז / צ.ז.צ / צ.צ.צ), ורק אז נשענים על k.

מבט מקרוב

האנטומיה של דמיון - תזכורת

נזכר שוב: בשני משולשים דומים △ABC ∼ △DEF יש בדיוק שני דברים - זוויות מתאימות שוות, וצלעות מתאימות פרופורציונליות ביחס קבוע k. שמים לב לסדר הקדקודים: A↔D, B↔E, C↔F, ולכן AB מתאימה ל-DE. הנה המפה על הדוגמה - יחס 3:5, כלומר k = 53, שבו הצלע 6 הופכת ל-10.

דמיון △ABC ∼ △DEF ביחס 3:5 - צלע 6 → 10
B C A AB = 6 משולש קטן △ABC E F D DE = 10 משולש דומה ×k △DEF יחס דמיון k = 5/3 ⟵ 6 · 5/3 = 10 ∼
תזכורת לפני התרגול

שש כרטיסיות תזכורת

שישה מושגים מדמיון המשולשים של כיתה י׳ (4 יח״ל), בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: משלושת משפטי הדמיון, דרך יחס הדמיון k, ועד יחסי ההיקף והשטח והישר המקביל לצלע. ואז לתרגול המדורג.

1

משפט ז.ז

אם שתי זוויות במשולש אחד שוות לשתי זוויות במשולש השני - המשולשים דומים. זהו המשפט הנפוץ ביותר: לרוב מספיק למצוא שתי זוויות שוות (למשל זוויות מתאימות בין מקבילים) כדי לבסס דמיון.

2

צ.ז.צ ביחס

אם שתי צלעות במשולש אחד פרופורציונליות לשתי צלעות בשני והזווית הכלואה ביניהן שווה - המשולשים דומים. שימו לב: הזווית חייבת להיות זו שבין שתי הצלעות שביחס.

3

צ.צ.צ ביחס

אם שלוש הצלעות של משולש אחד פרופורציונליות לשלוש צלעות השני (אותו יחס k בכל זוג) - המשולשים דומים, בלי צורך לבדוק זוויות כלל.

4

יחס הדמיון k

היחס הקבוע בין כל שתי צלעות מתאימות הוא k. צלע מתאימה מתקבלת בהכפלה: אם k = 53, הצלע 6 נותנת 6 · 53 = 10.

5

יחס היקפים = k, יחס שטחים = k²

כל צלע גדלה פי k, ולכן ההיקף גדל פי k. אבל השטח תלוי בשתי מידות, ולכן הוא גדל פי k². ביחס דמיון k = 2 יחס השטחים הוא 2² = 4.

6

ישר מקביל לצלע (תאלס)

ישר המקביל לצלע אחת וחותך את שתי הצלעות האחרות יוצר משולש קטן דומה למקורי (לפי ז.ז - זוויות מתאימות שוות בין מקבילים). זהו הכלי המרכזי להוכחת דמיון ולחישוב קטעים פרופורציונליים: DE = k · BC.

k = 1
משולש קטן - צלע 6, היקף P
×k
משולש דומה ×k - צלע 10, היקף k·P
נפתור יחד

דוגמאות פתורות

שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד. השיטה קבועה: מבססים דמיון (ז.ז / צ.ז.צ / צ.צ.צ), מוצאים את יחס הדמיון k, ואז מחשבים אורך, היקף או שטח. אותה שיטה תעבוד בתרגול.

דוגמה 1△ABC ∼ △DEF , יחס 3:5
  1. ביסוס הדמיון: נתון ששתי זוויות מתאימות שוות, ולכן לפי משפט ז.ז מתקיים △ABC ∼ △DEF.
  2. יחס הדמיון: הצלעות המתאימות ביחס 3:5, כלומר k = 53 (מהקטן לגדול).
  3. חישוב צלע מתאימה: לצלע AB = 6 מתאימה DE = 6 · 53 = 10.
  4. הצלע המתאימה היא 10; יחס ההיקפים 53 ויחס השטחים (53)² = 259.
דוגמה 2יחס דמיון k = 2
  1. נתון: שני משולשים דומים ביחס דמיון k = 2 (כל צלע בגדול כפולה מזו שבקטן).
  2. יחס היקפים: כל צלע גדלה פי 2, ולכן ההיקף גדל פי 2 - יחס ההיקפים הוא 2.
  3. יחס שטחים: השטח תלוי בשתי מידות, ולכן הוא גדל פי k² = 2² = 4.
  4. אם שטח הקטן 15, שטח הגדול 15 · 4 = 60.
דוגמה 3DE ∥ BC במשולש ABC
  1. המבנה: במשולש ABC מעבירים ישר DE ∥ BC החותך את AB ב-D ואת AC ב-E.
  2. הוכחת הדמיון: הזווית A משותפת, ו-∠ADE = ∠ABC (זוויות מתאימות בין המקבילים DE ∥ BC). לפי ז.ז מתקיים △ADE ∼ △ABC.
  3. חישוב: אם AD = 3, AB = 5 ו-BC = 10, אז k = 35, ולכן DE = 35 · 10 = 6.
  4. הישר המקביל יצר משולש דומה, וממנו DE = 6 - קטע פרופורציונלי לצלע BC.
תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול מדורג - דמיון משולשים

ניקוד: 0 / 0

ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: חישוב ישיר של יחס וצלע מתאימה; היקף, שטח וקטעים פרופורציונליים; פיזור בין היקף לשטח, קטעים ו-k משבר; ועד ניתוח רב-שלבי, הוכחת דמיון ואיתור טעות ברמת בגרות. כל השאלות מבוססות על המשפטים של כיתה י׳ 4 יח״ל, והתשובות יוצאות נקיות. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר הדמיון" שמחשבת את יחס ההיקפים, יחס השטחים והצלע המתאימה מיחס דמיון נתון. בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

0%
שליטה
0חדש
0בלימוד
0בחזרה
0שולט

הנקודות שכדאי לזכור

  • 1משפטי דמיון: ז.ז, צ.ז.צ ביחס (זווית כלואה), צ.צ.צ ביחס.
  • 2יחס דמיון: כל שתי צלעות מתאימות ביחס קבוע k; צלע מתאימה = צלע · k.
  • 3היקפים: יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון k.
  • 4שטחים: יחס השטחים הוא k² (ומיחס שטחים k = היחס).
  • 5תאלס: ישר מקביל לצלע יוצר משולש דומה - DE = k · BC.
משפטי הדמיון והיחסים במבט אחד
הכללמה אומרדוגמה
ז.זשתי זוויות שוות ⟵ דמיון∠,∠ → ∼
צ.ז.צ ביחסשתי צלעות ביחס + הזווית הכלואה שווהa:a' = b:b'
צ.צ.צ ביחסשלוש הצלעות באותו יחס ka:a' = b:b' = c:c'
צלע מתאימהצלע · k6 · 53 = 10
יחס היקפיםשווה ל-kk = 2 → 2
יחס שטחיםשווה ל-k²k = 2 → 4
ישר מקביל (תאלס)יוצר משולש דומה, DE = k · BC35 · 10 = 6
מפתח פתרונות (תרגול)

    דמיון משולשים. לפני החישוב זהו איזה משפט מבסס את הדמיון, ומהו היחס k.

    תצוגת דף עבודה כל השאלות פתוחות, בלי מענה אינטראקטיבי