לראות כל דמיון ולהוכיח אותו
שני משולשים דומים הם אותה צורה בשני גדלים: כל הזוויות שוות והצלעות פרופורציונליות ביחס דמיון k. מכאן היחס בין ההיקפים הוא k והיחס בין השטחים הוא k². גררו את יחס הדמיון במעבדה, וראו איך צלע מוכפלת ב-k והשטח ב-k².
איך יודעים ששני משולשים דומים? מספיק להראות ששתי זוויות במשולש אחד שוות לשתי זוויות במשולש השני - משפט ז.ז. ברגע שיש דמיון, כל הצלעות המתאימות עומדות באותו יחס k, ההיקפים ביחס k והשטחים ביחס k². הכלי החזק ביותר לזה הוא ישר מקביל לצלע (משפט תאלס): הוא חותך משולש קטן דומה למקורי, ומכאן נגזרות כל הפרופורציות.
האנטומיה של דמיון
בשני משולשים דומים △ABC ∼ △DEF יש בדיוק שני דברים: זוויות מתאימות שוות, וצלעות מתאימות פרופורציונליות. היחס הקבוע בין הצלעות הוא יחס הדמיון k. הנה המפה המלאה על הדוגמה - יחס 3:5, כלומר k = 53, שבו הצלע 6 הופכת ל-10:
מה מרכיב דמיון משולשים
שישה מושגים שנותנים שליטה מלאה בכל שאלת דמיון, בדיוק כפי שהם נדרשים ב-4 יח״ל: משפטי הדמיון, יחס הדמיון, ויחסי ההיקף והשטח. נסו לשנות את k במעבדה שלמעלה תוך כדי קריאה, וצפו איך משתנים הצלעות, ההיקף והשטח.
משפט ז.ז
אם שתי זוויות במשולש אחד שוות לשתי זוויות במשולש השני, אז המשולשים דומים. זהו משפט הדמיון הנפוץ ביותר - לרוב מספיק למצוא שתי זוויות שוות (למשל זוויות מתחלפות בין מקבילים) כדי לבסס דמיון.
צ.ז.צ ביחס
אם שתי צלעות במשולש אחד פרופורציונליות לשתי צלעות במשולש השני, והזווית הכלואה ביניהן שווה - המשולשים דומים. שימו לב: הזווית חייבת להיות זו שבין שתי הצלעות שביחס.
צ.צ.צ ביחס
אם שלוש הצלעות של משולש אחד פרופורציונליות לשלוש הצלעות של השני (אותו יחס k בכל זוג), אז המשולשים דומים - בלי צורך לבדוק זוויות כלל.
יחס הדמיון k
היחס הקבוע בין כל שתי צלעות מתאימות הוא k. אם k = 53, אז צלע מתאימה מתקבלת בהכפלה ב-k: הצלע 6 נותנת 6 · 53 = 10.
יחס היקפים = k, יחס שטחים = k²
כל צלע גדלה פי k, ולכן גם ההיקף גדל פי k. אבל השטח תלוי בשתי מידות (בסיס × גובה), ולכן הוא גדל פי k². ביחס דמיון k = 2 יחס השטחים הוא 2² = 4.
ישר מקביל לצלע (תאלס)
ישר המקביל לצלע אחת של משולש וחותך את שתי הצלעות האחרות יוצר משולש קטן דומה למקורי (לפי ז.ז - זוויות מתאימות שוות בין מקבילים). זהו הכלי המרכזי להוכחת דמיון ולחישוב קטעים פרופורציונליים.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 4 יח״ל - כולל הוכחת דמיון קצרה. שימו לב לשיטה: מבססים דמיון (משפט ז.ז / צ.ז.צ / צ.צ.צ), מוצאים את יחס הדמיון k, ואז מחשבים אורך, היקף או שטח.
- ביסוס הדמיון: נתון שבמשולשים שתי זוויות מתאימות שוות, ולכן לפי משפט ז.ז מתקיים △ABC ∼ △DEF.
- יחס הדמיון: הצלעות המתאימות ביחס 3:5, כלומר k = 53 (מהקטן לגדול).
- חישוב צלע מתאימה: לצלע AB = 6 מתאימה במשולש הגדול DE = 6 · 53 = 10.
- הצלע המתאימה היא 10; יחס ההיקפים 53 ויחס השטחים (53)² = 259.
- נתון: שני משולשים דומים ביחס דמיון k = 2 (כל צלע בגדול כפולה מזו שבקטן).
- יחס היקפים: כל צלע גדלה פי 2, ולכן ההיקף גדל פי 2 - יחס ההיקפים הוא 2.
- יחס שטחים: השטח תלוי בשתי מידות, ולכן הוא גדל פי k² = 2² = 4.
- אם שטח המשולש הקטן הוא 15, שטח הגדול הוא 15 · 4 = 60.
- המבנה: במשולש ABC מעבירים ישר DE ∥ BC החותך את AB ב-D ואת AC ב-E.
- הוכחת הדמיון: הזווית A משותפת, והזווית ∠ADE = ∠ABC (זוויות מתאימות בין המקבילים DE ∥ BC). לפי ז.ז מתקיים △ADE ∼ △ABC.
- חישוב: אם AD = 3, AB = 5 ו-BC = 10, אז k = ADAB = 35, ולכן DE = 35 · 10 = 6.
- הישר המקביל יצר משולש דומה, וממנו DE = 6 - קטע פרופורציונלי לצלע BC.
תרגול אינטראקטיבי
תרגול מקיף בשלוש רמות: יסוד (חישוב יחס וצלע מתאימה ישירות), יישום (היקף, שטח וקטעים פרופורציונליים), ורמת בגרות (שאלה רב-שלבית עם נימוק והוכחת דמיון). פתרו סט, ועברו לסט הבא עם החצים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר הדמיון".
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1משפטי דמיון: ז.ז, צ.ז.צ ביחס (זווית כלואה), צ.צ.צ ביחס.
- 2יחס דמיון: כל שתי צלעות מתאימות ביחס קבוע k; צלע מתאימה = צלע · k.
- 3היקפים: יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון k.
- 4שטחים: יחס השטחים הוא k² (למשל k = 2 → 4).
- 5תאלס: ישר מקביל לצלע יוצר משולש דומה - כלי להוכחה ולקטעים פרופורציונליים.
