תרגול מדדי מרכז ופיזור
כל מה שלמדנו על מדדי המרכז - ממוצע, שכיח וחציון - ועל מדדי הפיזור - טווח וסטיית תקן σ - ולצידם הממוצע המשוקלל מטבלת שכיחויות, עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מחישוב מדד בודד ועד ניתוח, סטיית תקן ואיתור טעות ברמת בגרות. זכרו את השיטה: מסדרים בסדר עולה, מחשבים ממוצע, ורק אז נשענים עליו לפיזור.
בכל שורה בחרו את המדד הנכון. מסדרים בסדר עולה, ואז מזהים ממוצע, שכיח או חציון - וזכרו: לזוגי לוקחים את ממוצע שני האמצעיים, הטווח הוא מקסימום פחות מינימום, סטיית התקן היא שורש הממוצע של ריבועי הסטיות, ובטבלת שכיחויות מחשבים ממוצע משוקלל. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". מסדרים תחילה · ואז מחשבים את המדד המבוקש
מרכז זה לא הכול. שתי כיתות יכולות לקבל בדיוק אותו ממוצע, ובכל זאת באחת כולם צמודים אליו ובשנייה הציונים מפוזרים מקצה לקצה. הממוצע לבדו לא מבחין ביניהן - בשביל זה יש מדדי פיזור: הטווח וסטיית התקן, שמודדים כמה הנתונים "מפוזרים" סביב הממוצע. נזכיר כאן את כל המדדים, ומשם לתרגול המדורג. זכרו: לפני חציון מסדרים בסדר עולה, ולפני סטיית תקן מחשבים קודם את הממוצע.
האנטומיה של אוסף נתונים - תזכורת
נזכר שוב במבנה: לכל אוסף אפשר לחשב את אותם חמישה מדדים - ממוצע, שכיח וחציון (מרכז), ולצידם טווח וסטיית תקן (פיזור). לפני הכול מסדרים מהקטן לגדול, מחשבים את הממוצע, ורק אז את הפיזור סביבו. הנה המפה על הדוגמה 3, 5, 5, 7, 10 - אותה תמונה תלווה אתכם בכל שאלה בתרגול.
שש כרטיסיות תזכורת
שישה מושגים ממדדי המרכז והפיזור של כיתה י׳ (4 יח״ל), בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: משלושת מדדי המרכז, דרך הטווח וסטיית התקן, ועד הממוצע המשוקלל מטבלת שכיחויות. ואז לתרגול המדורג.
ממוצע (מרכז)
מחברים את כל הנתונים ומחלקים במספרם: x̄ = Σxn. עבור 3, 5, 5, 7, 10 מקבלים 30 : 5 = 6. זהו "מרכז הכובד" - רגיש מאוד לערכים חריגים.
שכיח (מרכז)
הערך שמופיע הכי הרבה פעמים. ב-3, 5, 5, 7, 10 הערך 5 מופיע פעמיים וכולם פעם אחת, ולכן השכיח הוא 5. יכולים להיות כמה שכיחים או אף שכיח.
חציון, רבעונים ועשירונים
מסדרים מהקטן לגדול; החציון הוא הערך האמצעי. אם מספר הנתונים אי-זוגי - זה הערך היחיד באמצע; אם זוגי - ממוצע שני האמצעיים. ב-3, 5, 5, 7, 10 החציון הוא 5.
רבעונים ועשירונים ממשיכים את רעיון החציון: החציון חוצה את הנתונים המסודרים לשניים, הרבעונים מחלקים אותם לארבעה חלקים שווים, והעשירונים לעשרה. הרבעון התחתון Q₁ הוא החציון של המחצית התחתונה, והרבעון העליון Q₃ הוא החציון של המחצית העליונה. העשירון העליון הוא עשירית הערכים הגבוהים ביותר, ולכן הוא מדד שימושי בדיווחי שכר והכנסה. הערה: בשנת הלימודים תשפ"ז עשירונים ורבעונים אינם נבחנים בשאלון 471, ולנבחנים מתשפ"ח ואילך חומר הבחינה יכלול את כל הנושאים.
טווח (פיזור)
הפער בין הגדול לקטן: טווח = מקסימום - מינימום. בדוגמה 10 - 3 = 7. זהו מדד פיזור מהיר, אך גם הוא מושפע מאוד מערך חריג יחיד.
סטיית תקן (פיזור)
מודדת את הפיזור סביב הממוצע: σ = Σ(x - x̄)²n. בדוגמה σ = 28 : 5 ≈ 2.37. ככל שהיא גדולה - הנתונים מפוזרים יותר. אל תשכחו את השורש!
ממוצע משוקלל
כשהנתונים באים בטבלת שכיחויות, מכפילים כל ערך בשכיחותו, מחברים, ומחלקים בסך השכיחויות: x̄ = Σ(x·f)Σf. כך מחשבים ממוצע בלי לכתוב כל נתון בנפרד.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד. השיטה קבועה: מסדרים, מחשבים ממוצע, ואז מרכז נוסף ופיזור. אותה שיטה תעבוד בתרגול.
- ממוצע: מחברים ומחלקים ב-n = 5: (3 + 5 + 5 + 7 + 10) : 5 = 30 : 5 = 6.
- שכיח וחציון: הערך 5 מופיע פעמיים - השכיח. הרשימה מסודרת, והאמצעי (השלישי) הוא 5 - החציון.
- טווח: 10 - 3 = 7.
- סטיית תקן: סוטים מהממוצע 6: (-3)² + (-1)² + (-1)² + 1² + 4² = 9 + 1 + 1 + 1 + 16 = 28, ולכן σ = 28 : 5 ≈ 2.37.
- ממוצע 6, שכיח 5, חציון 5, טווח 7, סטיית תקן ≈ 2.37.
- ממוצע: (4 + 6 + 8 + 10) : 4 = 28 : 4 = 7.
- חציון (כמות זוגית): אין איבר אמצעי יחיד; לוקחים את ממוצע שני האמצעיים 6 ו-8: (6 + 8) : 2 = 7.
- טווח: 10 - 4 = 6. אין ערך שחוזר, ולכן אין שכיח יחיד.
- סטיית תקן: סוטים מ-7: (-3)² + (-1)² + 1² + 3² = 9 + 1 + 1 + 9 = 20, ולכן σ = 20 : 4 = 5 ≈ 2.24.
- ממוצע 7, חציון 7, טווח 6, סטיית תקן ≈ 2.24.
- מזהים: טבלת שכיחויות - כל ערך x חוזר f פעמים. סך הנתונים Σf = 3 + 2 + 5 = 10.
- מכפילים ערך בשכיחות: 2·3 = 6, 4·2 = 8, 9·5 = 45. סכום: Σ(x·f) = 6 + 8 + 45 = 59.
- ממוצע משוקלל: x̄ = 5910 = 5.9.
- ממוצע משוקלל 5.9, שכיח 9 (השכיחות הגבוהה ביותר, 5).
תרגול מדורג - מדדי מרכז ופיזור
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: חישוב ישיר של מדד בודד; ממוצע, חציון וטבלת שכיחויות; פיזור, ערך חסר וערך חריג (כולל סטיית תקן); ועד ניתוח, בחירת מדד ואיתור טעות ברמת בגרות. כל השאלות מבוססות על ההגדרות של כיתה י׳ 4 יח״ל, והתשובות יוצאות נקיות. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "מדדי מרכז ופיזור" שמחשבת את כל המדדים מרשימת מספרים. בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1ממוצע: סכום הנתונים חלקי מספרם. רגיש לערכים חריגים.
- 2שכיח: הערך הנפוץ ביותר. חציון: הערך האמצעי בסדר עולה (לזוגי - ממוצע שני האמצעיים).
- 3טווח: מקסימום - מינימום.
- 4סטיית תקן: σ = Σ(x - x̄)² : n - הפיזור סביב הממוצע. אל תשכחו את השורש.
- 5ממוצע משוקלל: Σ(ערך·שכיחות) חלקי Σ שכיחות מטבלת שכיחויות.
| המדד | הכלל | דוגמה (על 3, 5, 5, 7, 10) |
|---|---|---|
| ממוצע | סכום הנתונים חלקי מספרם | 305 = 6 |
| שכיח | הערך הנפוץ ביותר | 5 |
| חציון | האמצעי בסדר עולה | 5 |
| טווח | מקסימום פחות מינימום | 10 - 3 = 7 |
| סטיית תקן | שורש הממוצע של ריבועי הסטיות | sqrt(285) ~ 2.37 |
| ממוצע משוקלל | Σ(ערך·שכיחות) חלקי Σ שכיחות | 5910 = 5.9 |
