לתמצת נתונים למדד אחד
כל אוסף נתונים מסתתר מאחורי כמה מספרים בלבד: מדדי מרכז - ממוצע, שכיח וחציון - שאומרים "איפה" הנתונים, ומדדי פיזור - טווח, שונות וסטיית תקן σ - שאומרים "כמה הם מפוזרים". לצידם רבעונים ועשירונים חותכים את הנתונים המסודרים לארבעה או לעשרה חלקים שווים. שנו את הנתונים במעבדה וראו את כל המדדים מתעדכנים בזמן אמת.
שני מדדים, שתי שאלות. מבחן חוזר בכיתה? הממוצע מספר לכם איפה נמצא "מרכז הכובד" של הציונים, אבל הוא לא מספר הכול: שתי כיתות יכולות לקבל בדיוק אותו ממוצע, ובאחת כולם קרובים אליו ובשנייה הציונים מפוזרים מקצה לקצה. בשביל זה יש מדדי פיזור - הטווח, השונות וסטיית התקן - שמודדים כמה הנתונים "מפוזרים" סביב הממוצע. ויש עוד שאלה: איפה עומד תלמיד אחד ביחס לכולם? על זה עונים הרבעונים והעשירונים. בדף הזה נלמד לחשב את כולם, בדיוק בשיטה שחוזרת בכל שאלת בגרות.
האנטומיה של אוסף נתונים
לכל אוסף נתונים אפשר לחשב את אותם מדדים: ממוצע, שכיח וחציון (מרכז), ולצידם טווח, שונות וסטיית תקן (פיזור), ורבעונים ועשירונים (מיקום יחסי). כשמזהים אותם, מתארים כל טבלה במשפט אחד. הנה המפה המלאה על הדוגמה 3, 5, 5, 7, 10:
מדדי המרכז ומדדי הפיזור
שישה מושגים שנותנים שליטה מלאה בכל טבלת נתונים, בדיוק כפי שהם נדרשים ב-4 יח״ל. חשבו כל אחד מהם על הדוגמה 3, 5, 5, 7, 10 תוך כדי קריאה, ונסו לשנות נתון במעבדה שלמעלה כדי לראות מה משתנה.
ממוצע (מרכז)
הממוצע הוא סכום כל הנתונים חלקי כמותם: x̄ = Σxn. לדוגמה (3+5+5+7+10) : 5 = 30 : 5 = 6. מטבלת שכיחויות מחשבים אותו כממוצע משוקלל: x̄ = Σ(x·f)Σf. זהו "מרכז הכובד" - והוא רגיש מאוד לערכים חריגים.
שכיח (מרכז)
השכיח הוא הערך הנפוץ ביותר - זה שמופיע הכי הרבה פעמים. בדוגמה 3, 5, 5, 7, 10 הערך 5 מופיע פעמיים וכל השאר פעם אחת, ולכן השכיח הוא 5. הוא המדד היחיד שמתאים גם למשתנה איכותי, ואינו מושפע מערכים קיצוניים.
חציון (מרכז)
מסדרים את הנתונים מקטן לגדול, והחציון הוא הערך האמצעי. בדוגמה המסודרת 3, 5, 5, 7, 10 יש 5 נתונים, והאמצעי (השלישי) הוא 5. בכמות זוגית לוקחים את ממוצע שני האמצעיים. החציון אינו מושפע מערכים קיצוניים.
רבעונים ועשירונים
הרבעונים חותכים את הנתונים המסודרים לארבעה חלקים שווים: Q1 הוא החציון של המחצית התחתונה, Q2 הוא החציון עצמו, ו-Q3 הוא החציון של המחצית העליונה. באותו אופן העשירונים חותכים לעשרה חלקים; העשירון העליון הוא 10% הערכים הגבוהים ביותר. אלה מדדי מיקום: הם עונים על "איפה אני ביחס לכולם".
טווח (פיזור)
הטווח הוא הפער בין הגדול לקטן: טווח = מקסימום − מינימום. בדוגמה 10 − 3 = 7. זהו מדד פיזור מהיר וקל, אך הוא נשען רק על שני הערכים הקיצוניים ולכן אינו מהימן.
שונות וסטיית תקן (פיזור)
השונות היא ממוצע ריבועי הסטיות מהממוצע: σ² = Σ(x − x̄)²n, וסטיית התקן היא השורש שלה: σ = σ². בדוגמה σ² = 28 : 5 = 5.6 ולכן σ = 5.6 ≈ 2.37. הן נשענות על כל הנתונים; שימו לב ליחידות - יחידות השונות הן ריבוע יחידות הנתונים, ולכן סטיית התקן נוחה יותר לדיווח.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 4 יח״ל: מדדי מרכז ופיזור מלאים, רבעונים מרשימה מסודרת, והעשירון העליון. שימו לב לשיטה - היא חוזרת על עצמה: קודם ממוצע, ואז מרכז נוסף ופיזור.
- ממוצע: מחברים ומחלקים ב-n = 5: (3+5+5+7+10) : 5 = 30 : 5 = 6.
- שכיח וחציון: הערך 5 מופיע פעמיים - לכן השכיח הוא 5. הרשימה כבר מסודרת, והאמצעי (השלישי) הוא 5 - זה החציון.
- טווח: 10 − 3 = 7.
- שונות: סוטים מהממוצע 6, מעלים בריבוע ומחברים: (-3)² + (-1)² + (-1)² + 1² + 4² = 9+1+1+1+16 = 28, ולכן σ² = 285 = 5.6.
- סטיית תקן: שורש השונות: σ = 5.6 ≈ 2.37.
- ממוצע 6, שכיח 5, חציון 5, טווח 7, שונות 5.6 וסטיית תקן ≈ 2.37.
- מוודאים סדר וסופרים: הרשימה מסודרת מקטן לגדול ויש בה n = 8 נתונים.
- חציון (הוא גם הרבעון השני): כמות זוגית, ולכן ממוצע שני האמצעיים: (6+8) : 2 = 7.
- הרבעון התחתון: החציון של המחצית התחתונה 2, 4, 4, 6, כלומר Q1 = (4+4) : 2 = 4.
- הרבעון העליון: החציון של המחצית העליונה 8, 10, 12, 16, כלומר Q3 = (10+12) : 2 = 11.
- ועשירון לדוגמה: בעשרה ציונים מסודרים 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 95 כל נתון הוא בדיוק עשירית מהנתונים, ולכן העשירון העליון הוא 95.
- Q1 = 4, חציון = 7, Q3 = 11: רבע מהנתונים מתחת ל-4 ורבע מעליהם 11. בסדרת הציונים, העשירון העליון הוא 95.
- מזהים: זו טבלת שכיחויות - כל ערך x חוזר f פעמים. סך הנתונים Σf = 3+2+5 = 10.
- מכפילים ערך בשכיחות: 2·3 = 6, 4·2 = 8, 9·5 = 45. סכום: Σ(x·f) = 6+8+45 = 59.
- ממוצע משוקלל: x̄ = 5910 = 5.9.
- שכיח: השכיחות הגבוהה ביותר היא 5, אצל הערך 9 - לכן השכיח הוא 9.
- ממוצע משוקלל 5.9, שכיח 9 (מתוך Σf = 10 נתונים).
תרגול אינטראקטיבי
תרגול מקיף בשלוש רמות: יסוד (חישוב ישיר של מדד בודד), יישום (טבלת שכיחויות, רבעונים והשוואת פיזור), ורמת בגרות (שאלה רב-שלבית שמשלבת מרכז ופיזור). פתרו סט, ועברו לסט הבא עם החצים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר הסטטיסטיקה".
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1ממוצע: x̄ = Σxn; מטבלת שכיחויות x̄ = Σ(x·f)Σf.
- 2שכיח: הערך הנפוץ ביותר. חציון: הערך האמצעי ברשימה מסודרת.
- 3רבעונים: Q1 חציון המחצית התחתונה, Q3 חציון המחצית העליונה. העשירון העליון: 10% הגבוהים.
- 4טווח: מקסימום − מינימום.
- 5שונות וסטיית תקן: σ² = Σ(x − x̄)²n ו-σ = σ². יחידות השונות הן ריבוע יחידות הנתונים.
