תרגול טריגונומטריה במשולש
כל מה שלמדנו על המשולש - שלושת היחסים sinα = מול/יתר, cosα = סמוך/יתר, tanα = מול/סמוך, מציאת צלע מיתר וזווית (מול = יתר·sinα), נוסחת השטח S = ½·a·b·sinC, וסינוס של זווית קהה sin(180° - α) = sinα - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מיחס בודד ועד שאלה רב-שלבית ואיתור טעות ברמת בגרות. זכרו את הלב של הכול: זהו קודם מה נתון - צלעות, זווית או יתר - ובחרו את היחס או את נוסחת השטח המתאימים.
בכל שורה בחרו את התוצאה הנכונה לפי כללי הטריגונומטריה במשולש: sinα = מול / יתר, cosα = סמוך / יתר, tanα = מול / סמוך, ושטח = ½·a·b·sinC. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". sinα = מול / יתר · cosα = סמוך / יתר · tanα = מול / סמוך · S = ½·a·b·sinC
זווית אחת, כמה שאלות. מאותו משולש אפשר לשאול: "מהו היחס?" - sinα = מוליתר. "מהי הצלע החסרה?" - מול = יתר·sinα. "מהו השטח?" - S = ½·a·b·sinC, בלי גובה. נעבור כאן על הכללים בקצרה, ואז לתרגול המדורג.
האנטומיה של המשולש - תזכורת
נזכר שוב במבנה: במשולש ישר-זווית יש יתר (מול הזווית הישרה), ניצב מול הזווית וניצב סמוך לזווית - ומהם נגזרים sin, cos, tan. וכששתי צלעות והזווית שביניהן ידועות, השטח נתון ב-½·a·b·sinC. הנה המפה על דוגמה: צלעות 6 ו-8 וזווית 30° ביניהן. אותה תמונה תלווה אתכם בכל שאלה.
שש כרטיסיות תזכורת
שישה מושגים מהמשולש הטריגונומטרי, בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: מהיחסים, דרך מציאת צלע חסרה, ועד נוסחת השטח וסינוס של זווית קהה. ואז לתרגול המדורג.
sin, cos, tan
במשולש ישר-זווית, ביחס לזווית חדה: sinα = מוליתר, cosα = סמוךיתר, tanα = מולסמוך. שלושתם יחסים בין צלעות.
הניצב מול הזווית
מ-sinα = מוליתר נובע שהניצב שמול הזווית שווה יתר · sinα. למשל ביתר 10 וזווית 30°: הניצב הוא 10·sin30° = 5.
הניצב הסמוך ו-tan
הניצב הסמוך לזווית שווה יתר · cosα, וגם tanα = מולסמוך. שני היחסים יחד מאפשרים למצוא כל צלע חסרה כשידועות צלע וזווית.
שטח המשולש
שטח כל משולש הוא S = 12·a·b·sinC - חצי מכפלת שתי צלעות בסינוס הזווית שביניהן. אין צורך בגובה. עם a = 6, b = 8, C = 30° מקבלים S = 12.
סינוס של זווית קהה
הנוסחה עובדת גם כשהזווית קהה, כי sin(180° - α) = sinα. למשל sin150° = sin30° = 0.5. זווית וזווית המשלימה אותה ל-180° נותנות אותו סינוס בדיוק.
זוויות מיוחדות
כדאי לזכור בעל-פה: sin30° = 0.5, cos60° = 0.5, sin90° = 1, וגם sin150° = 0.5. הן חוזרות שוב ושוב ומאפשרות לחשב שטח או צלע בלי מחשבון.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד. השיטה קבועה: מזהים מה ידוע (צלעות/זווית/יתר), בוחרים יחס או נוסחת שטח, ומציבים. אותה שיטה תעבוד בתרגול.
- מזהים את הנתונים: שתי צלעות a = 6, b = 8, והזווית שביניהן C = 30°.
- בוחרים נוסחה: שתי צלעות והזווית שביניהן - S = 12·a·b·sinC.
- מציבים: S = 12·6·8·sin30° = 24·0.5.
- שטח המשולש הוא S = 12 יחידות ריבועיות.
- מזהים את הצלעות: מול הזווית α נמצאת הצלע 6, הצלע הסמוכה היא 8, והיתר הוא 10.
- סינוס: sinα = מוליתר = 610 = 0.6.
- קוסינוס: cosα = סמוךיתר = 810 = 0.8.
- טנגנס: tanα = מולסמוך = 68 = 0.75.
- הזווית קהה: הזווית שבין הצלעות היא 150°. משתמשים ב-sin(180° - α) = sinα.
- מפשטים את הסינוס: sin150° = sin(180° - 150°) = sin30° = 0.5.
- מציבים בנוסחת השטח: S = 12·6·8·0.5.
- גם כאן S = 12 - סינוס של זווית קהה שווה לסינוס משלימתה.
תרגול מדורג - טריגונומטריה במשולש
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: זיהוי יחסים וערכים ישירים; מציאת צלע ויחס ממשולש; יחסים מרובים ואיתור טעות; ועד שאלה רב-שלבית וטענות נכון או לא נכון ברמת בגרות. כל התשובות יוצאות מספר שלם או שבר עשרוני קצר. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ עם לשונית "פותר המשולש". בחרו או הקלידו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1יחסים: sinα = מול/יתר, cosα = סמוך/יתר, tanα = מול/סמוך.
- 2צלע מיתר וזווית: הניצב שמול הזווית = יתר · sinα, והסמוך = יתר · cosα.
- 3שטח: S = ½·a·b·sinC - שתי צלעות והזווית שביניהן, בלי גובה.
- 4זווית קהה: sin(180° - α) = sinα, למשל sin150° = 0.5.
- 5זוויות מיוחדות: sin30° = 0.5, cos60° = 0.5, sin90° = 1.
| הנתון | החישוב | התוצאה |
|---|---|---|
| מול = 6, יתר = 10 | sin = 610 | sinα = 0.6 |
| יתר = 10, C = 30° | מול = 10 · sin30° | מול = 5 |
| a = 6, b = 8, C = 30° | S = 12 · 6 · 8 · 0.5 | S = 12 |
| C = 150° | sin150° = sin30° | sinC = 0.5 |
