טריגונומטריה במשולש

למדוד משולש בעזרת זווית אחת

במשולש ישר-זווית שלוש הפונקציות sin, cos, tan קושרות זווית ליחס צלעות, ובכל משולש השטח נתון בנוסחה S = ½·a·b·sinC. הזיזו את הזווית והצלעות במעבדה וראו איך השטח והצלעות משתנים בזמן אמת.

מעבדת המשולש שנו את הצלעות a, b ואת הזווית C וצפו בשטח

S = ½·6·8·sin30° = 12

שטח 12 sinC 0.5 צלע a 6 צלע b 8

צלע a6

צלע b8

הזווית C (מעלות)30°

איך מודדים שטח בלי גובה? נניח שיש שתי צלעות של משולש ואת הזווית שביניהן - אין צורך למצוא את הגובה. הנוסחה S = ½·a·b·sinC נותנת את השטח ישירות. וכשהמשולש ישר-זווית, sin, cos ו-tan מתרגמים כל זווית ליחס בין צלעות. בדף הזה נבנה את שני הכלים האלה ונשתמש בהם בשאלות בגרות.

מבט מקרוב

האנטומיה של המשולש הטריגונומטרי

לכל משולש ישר-זווית יש יתר (הצלע מול הזווית הישרה), ניצב מול הזווית וניצב סמוך לזווית. מהם נגזרים sin, cos, tan. וכששתי צלעות והזווית שביניהן ידועות - השטח נתון ב-½·a·b·sinC. הנה המפה המלאה על דוגמה: צלעות 6 ו-8 וזווית 30° ביניהן.

שטח המשולש S = ½·6·8·sin30° = 12

נכיר צעד אחר צעד

מה מרכיב טריגונומטריה בכיתה י׳

שישה מושגים שנותנים שליטה מלאה במשולש, בדיוק כפי שהם נדרשים ב-4 יח״ל. נסו לשנות במעבדה שלמעלה את הזווית והצלעות תוך כדי קריאה, וצפו איך השטח מגיב.

sin, cos, tan

במשולש ישר-זווית, ביחס לזווית חדה: sinα = מוליתר, cosα = סמוךיתר, tanα = מולסמוך. שלושתם יחסים בין צלעות.

הניצב מול זווית

מ-sinα = מוליתר נובע שהניצב שמול הזווית שווה יתר · sinα. למשל ביתר 10 וזווית 30°: הניצב הוא 10·sin30° = 5.

הניצב הסמוך

הניצב הסמוך לזווית שווה יתר · cosα, וגם tanα = הניצב שמולהניצב הסמוך. שני היחסים יחד מאפשרים למצוא כל צלע חסרה כשידועים יתר וזווית.

שטח המשולש

שטח כל משולש הוא S = 12·a·b·sinC - חצי מכפלת שתי צלעות בסינוס הזווית שביניהן. אין צורך בגובה. עם a = 6, b = 8, C = 30° מקבלים S = 12.

סינוס של זווית קהה

הנוסחה עובדת גם כשהזווית קהה, כי sin(180° − α) = sinα. למשל sin150° = sin30° = 0.5. זווית וזווית שמשלימה אותה ל-180° נותנות אותו סינוס בדיוק.

זוויות מיוחדות

כדאי לזכור בעל-פה: sin30° = 0.5, cos60° = 0.5, sin90° = 1. הן חוזרות שוב ושוב, ומאפשרות לחשב שטח או צלע בלי מחשבון בשאלות רבות.

C = 30°

זווית חדה - sinα כרגיל

C = 150°

זווית קהה - sin(180−α)=sinα

נפתור יחד

דוגמאות פתורות

שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 4 יח״ל. שימו לב לשיטה: מזהים מה ידוע (צלעות/זווית/יתר), בוחרים את היחס או את נוסחת השטח, ומציבים.

דוגמה 1S = ½·6·8·sin30°

מזהים את הנתונים: שתי צלעות a = 6, b = 8, והזווית שביניהן C = 30°.
בוחרים נוסחה: כשידועות שתי צלעות והזווית שביניהן, השטח הוא S = 12·a·b·sinC.
מציבים: S = 12·6·8·sin30° = 24·0.5.
שטח המשולש הוא S = 12 יחידות ריבועיות.

דוגמה 2יתר 10, זווית 30° → הניצב מול הזווית

מזהים את הנתונים: משולש ישר-זווית עם יתר 10 וזווית חדה 30°. מבקשים את הניצב שמול הזווית.
בוחרים יחס: הניצב שמול הזווית קשור ליתר דרך sinα = מוליתר.
מציבים: מול = יתר · sin30° = 10 · 0.5.
הניצב שמול הזווית הוא 5.

דוגמה 3S = ½·6·8·sin150°

הזווית קהה: הפעם הזווית שבין הצלעות היא 150°. משתמשים ב-sin(180° − α) = sinα.
מפשטים את הסינוס: sin150° = sin(180° − 150°) = sin30° = 0.5.
מציבים בנוסחת השטח: S = 12·6·8·0.5.
גם כאן S = 12 - סינוס של זווית קהה שווה לסינוס משלימתה.

תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול אינטראקטיבי

ניקוד: 0 / 0

תרגול מקיף בשלוש רמות: יסוד (יחס ישיר או שטח מיידי), יישום (מציאת צלע חסרה ושטח משולב), ורמת בגרות (שאלה רב-שלבית עם נימוק). פתרו סט, ועברו לסט הבא עם החצים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר המשולש".

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

שליטה

0חדש

0בלימוד

0בחזרה

0שולט

הנקודות שכדאי לזכור

1יחסים: sinα = מול/יתר, cosα = סמוך/יתר, tanα = מול/סמוך.
2צלע מיתר וזווית: הניצב שמול הזווית = יתר · sinα.
3שטח: S = ½·a·b·sinC - שתי צלעות והזווית שביניהן, בלי גובה.
4זווית קהה: sin(180° − α) = sinα, למשל sin150° = 0.5.
5זוויות מיוחדות: sin30° = 0.5, sin90° = 1.

מפתח פתרונות (תרגול)