תרגול הנדסה אנליטית
כל מה שלמדנו על נקודות וישרים - מרחק d = Δx² + Δy², אמצע הקטע, שיפוע m = Δy / Δx, משוואת הישר y - y₁ = m(x - x₁), ישרים מקבילים (m₁ = m₂) וניצבים (m₁·m₂ = -1), חיתוך שני ישרים, וההבחנה בין פונקציה לקבוצת נקודות - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מחישוב בודד ועד ניתוח ואיתור טעות ברמת בגרות. זכרו את הלב של הכול: קודם מזהים שיעורים, מחשבים את Δx ו-Δy, ומציבים בנוסחה המתאימה.
בכל שורה בחרו את התוצאה הנכונה לפי נוסחאות ההנדסה האנליטית: מרחק = Δx² + Δy², אמצע = ממוצע השיעורים, שיפוע = Δy / Δx, ישרים מקבילים כשהשיפועים שווים / ניצבים כש-m₁·m₂ = -1, וחיתוך שני ישרים בפתרון המשותף. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". שיפוע = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) · ניצב: השיפוע ההופכי הנגדי · אמצע-x = (x₁ + x₂) / 2
מרחק, שיפוע, ישר או חיתוך? אותן שתי נקודות, כמה שאלות שונות - וכולן נשענות על אותם הפרשים. "מה המרחק?" - d = Δx² + Δy², פיתגורס במישור. "מה השיפוע?" - m = Δy / Δx. "מה משוואת הישר?" - מציבים שיפוע ונקודה ב-y - y₁ = m(x - x₁). "היכן נחתכים שני ישרים?" - פותרים את המשוואות יחד. ולבסוף: מקבילים אם השיפועים שווים, ניצבים אם m₁·m₂ = -1. תמיד מתחילים באותו צעד: מזהים שיעורים ומחשבים את Δx ו-Δy. נרענן כאן את הנוסחאות, ומשם לתרגול המדורג.
האנטומיה של קטע וישר - תזכורת
נזכר שוב במבנה: לכל קטע במישור שתי נקודות קצה, ולכל נקודה שני שיעורים. מההפרשים Δx = x₂ - x₁ ו-Δy = y₂ - y₁ נגזרים מרחק, אמצע ושיפוע, ומתוך השיפוע ונקודה - משוואת הישר. הנה התמונה המלאה על הנקודות A(1, 2) ו-B(4, 6) - קודם זהו את השיעורים ואת ההפרשים.
שש כרטיסיות תזכורת
שישה מושגים מהנדסה אנליטית של 5 יח״ל, בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: מנקודה וההפרשים, דרך מרחק, אמצע ושיפוע, משוואת הישר, מקבילות וניצבות, ועד חיתוך שני ישרים וההבחנה בין פונקציה לקבוצת נקודות. ואז לתרגול המדורג.
מרחק בין שתי נקודות
המרחק הוא היתר במשולש ישר-זווית עם ניצבים Δx ו-Δy: d = Δx² + Δy². עם שלשה פיתגורית השורש יוצא שלם, למשל מ-(1, 2) ל-(4, 6) יוצא 5.
אמצע קטע
האמצע הוא ממוצע השיעורים: M = (x₁ + x₂2, y₁ + y₂2). בין (2, 3) ל-(8, 7) מקבלים (5, 5).
שיפוע הישר
השיפוע הוא קצב השינוי m = y₂ - y₁x₂ - x₁: חיובי עולה, שלילי יורד, אפס אופקי; בישר אנכי אין שיפוע מוגדר. דרך (0, 1) ו-(2, 5) השיפוע הוא 2.
משוואת הישר
עם שיפוע m ונקודה (x₁, y₁): y - y₁ = m(x - x₁), ומכאן לצורה y = mx + b. עם m = 2 והנקודה (0, 1) מקבלים y = 2x + 1.
מקבילים וניצבים
שני ישרים מקבילים אם השיפועים שווים: m₁ = m₂. הם ניצבים אם מכפלת השיפועים היא -1: m₁·m₂ = -1 (השיפוע ההופכי הנגדי). הניצב לשיפוע 2 הוא -12.
חיתוך ישרים · פונקציה מול קבוצת נקודות
נקודת החיתוך היא הפתרון המשותף של שתי המשוואות. שימו לב: לא כל קבוצת נקודות היא גרף של פונקציה - הישר האנכי x = 3 הוא קבוצת נקודות תקינה, אך אינו פונקציה, כי לאותו x יש אינסוף ערכי y.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות צעד אחר צעד. השיטה קבועה: מזהים שיעורים, מחשבים את Δx ו-Δy, ומציבים בנוסחה המתאימה - מרחק, אמצע, שיפוע, משוואת ישר, חיתוך או תנאי ניצבות. אותה שיטה תעבוד בתרגול.
- הפרשים: Δx = 4 - 1 = 3 ו-Δy = 6 - 2 = 4.
- מרחק: d = Δx² + Δy² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5.
- אמצע: ממצעים כל שיעור: M = (1 + 42, 2 + 62) = (2.5, 4).
- אורך AB = 5, האמצע (2.5, 4), והשיפוע 43.
- שיפוע: m = 5 - 12 - 0 = 42 = 2.
- משוואת הישר: עם m = 2 והנקודה (0, 1): y - 1 = 2(x - 0), כלומר y = 2x + 1.
- שיפוע הניצב: ניצב פירושו m₁·m₂ = -1, לכן m₂ = -12 (ההופכי הנגדי).
- הישר y = 2x + 1; הניצב לו דרך (0, 1) הוא y = -12x + 1.
- משווים: בנקודת החיתוך שני ה-y שווים, אז 2x + 1 = -x + 7.
- פותרים ל-x: מעבירים אגפים: 3x = 6, כלומר x = 2.
- מוצאים y: מציבים x = 2 באחת המשוואות: y = 2·2 + 1 = 5.
- הישרים נחתכים בנקודה (2, 5).
תרגול מדורג - הנדסה אנליטית
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: מרחק, אמצע ושיפוע בסיסי; משוואת ישר, מקבילות וניצבות; חיתוך שני ישרים והבחנה בין פונקציה לקבוצת נקודות; ועד בעיה משולבת, ניתוח ואיתור טעות ברמת בגרות. כל המרחקים יוצאים שלמים (שלשות פיתגוריות), והשיפועים, האמצעים ונקודות החיתוך נקיים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר הנקודות". בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1מרחק: d = Δx² + Δy² - משפט פיתגורס במישור.
- 2אמצע: M = ((x₁ + x₂)/2 , (y₁ + y₂)/2) - ממוצע השיעורים.
- 3שיפוע וישר: m = Δy / Δx, ומשוואה y - y₁ = m(x - x₁).
- 4מקבילים / ניצבים: מקבילים אם m₁ = m₂, ניצבים אם m₁·m₂ = -1.
- 5חיתוך ופונקציה: חיתוך = פתרון משותף; ישר אנכי x = c הוא קבוצת נקודות אך אינו פונקציה.
| הנתון | החישוב | התוצאה |
|---|---|---|
| (1, 2), (4, 6) | 3² + 4² = 25 | d = 5 |
| (2, 3), (8, 7) | ((2+8)/2, (3+7)/2) | M = (5, 5) |
| (0, 1), (2, 5) | (5-1)/(2-0) = 42 | m = 2 · y = 2x + 1 |
| m = 2, ניצב | 2·m = -1 | m = -12 · ניצב |
| y = 2x + 1, y = -x + 7 | 2x + 1 = -x + 7 | (2, 5) · חיתוך |
