נדב כץלמידה ברמה אחרת
מתמטיקה · י׳ · 5 יח״ל 5 יחידות
הנדסה אנליטית - הגאומטריה פוגשת את הצירים

לתרגם צורות לנוסחאות

כל נקודה במישור היא זוג שיעורים (x, y). משתי נקודות אפשר לחשב הכול: מרחק לפי Δx² + Δy², אמצע הקטע, שיפוע הישר m = Δy / Δx ומשוואתו. שני ישרים מקבילים כאשר השיפועים שווים, וניצבים כאשר מכפלת השיפועים היא -1. הזיזו את שתי הנקודות במעבדה וראו את המרחק, האמצע, השיפוע והישר משתנים יחד.

מעבדת שתי הנקודות גררו את A ואת B וצפו במרחק, באמצע, בשיפוע ובמשוואת הישר
A(1, 2) · B(4, 6)
מרחק 5 אמצע (2.5, 4) שיפוע 43 ישר y = -
נקודה A - גררו על הגרף(1, 2)
נקודה B - גררו על הגרף(4, 6)

איך מודדים מרחק בין שתי ערים על מפה? מסמנים כל עיר בזוג שיעורים, ואז המרחק בקו ישר הוא בדיוק היתר במשולש ישר-זווית: ההפרש האופקי Δx ניצב להפרש האנכי Δy, ולפי משפט פיתגורס d = Δx² + Δy². זו הרעיון שמאחורי כל ההנדסה האנליטית: מתרגמים כל שאלה גאומטרית - מרחק, אמצע, שיפוע, מקביל או ניצב - לחישוב על שיעורים. בדף הזה נלמד את כל הכלים, אותם כלים שמופיעים בכל שאלת בגרות של הנדסה אנליטית.

מבט מקרוב

האנטומיה של קטע במישור

לכל שתי נקודות A(x₁, y₁) ו-B(x₂, y₂) יש אותם ארבעה גדלים בסיסיים: ההפרשים Δx ו-Δy, המרחק Δx² + Δy², האמצע - ממוצע השיעורים, והשיפוע Δy / Δx. הנה המפה המלאה על הדוגמה A(1, 2) ו-B(4, 6):

הקטע A(1, 2)-B(4, 6) - מרחק 5, אמצע (2.5, 4), שיפוע 43
y x Δx = 3 Δy = 4 A(1, 2) B(4, 6) אמצע (2.5, 4) מרחק AB = 5
נכיר צעד אחר צעד

מה מרכיב הנדסה אנליטית

שישה מושגים שנותנים שליטה מלאה בכל שאלת הנדסה אנליטית בסיסית, בדיוק כפי שהם נדרשים ב-5 יח״ל. נסו לגרור במעבדה שלמעלה את שתי הנקודות תוך כדי קריאה, וצפו איך המרחק, האמצע, השיפוע והישר מתעדכנים בזמן אמת.

1

מרחק בין שתי נקודות

המרחק הוא היתר במשולש ישר-זווית עם ניצבים Δx ו-Δy: d = Δx² + Δy². לדוגמה בין (1, 2) ל-(4, 6): 3² + 4² = 25 = 5.

2

אמצע קטע

אמצע הקטע הוא ממוצע השיעורים: M = ((x₁ + x₂)/2 , (y₁ + y₂)/2). בין (2, 3) ל-(8, 7) מקבלים ((2 + 8)/2 , (3 + 7)/2) = (5, 5).

3

שיפוע הישר

השיפוע מודד כמה עולה הישר על כל צעד ימינה: m = Δy / Δx = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁). דרך (0, 1) ו-(2, 5) השיפוע הוא (5 - 1)/(2 - 0) = 2.

4

משוואת הישר

עם שיפוע m ונקודה (x₁, y₁): y - y₁ = m(x - x₁). עם m = 2 ונקודה (0, 1) מקבלים y = 2x + 1 - ישר החותך את ציר y ב-1.

5

מקבילים וניצבים

שני ישרים מקבילים כאשר m₁ = m₂. הם ניצבים כאשר m₁ · m₂ = -1, כלומר השיפוע הניצב הוא ההופכי הנגדי. הניצב לישר עם שיפוע 2 הוא בעל שיפוע -½.

6

חיתוך ישרים · גרף מול קבוצת נקודות

נקודת החיתוך היא הפתרון המשותף של שתי המשוואות. שימו לב: לא כל קבוצת נקודות היא גרף של פונקציה - הישר האנכי x = 3 הוא קבוצת נקודות תקינה, אך אינו פונקציה, כי לאותו x יש אינסוף ערכי y.

m₁ = m₂
שיפועים שווים m₁ = m₂ ← הישרים מקבילים
m₁ · m₂ = −1
מכפלת השיפועים m₁ · m₂ = −1 ← הישרים ניצבים
נפתור יחד

דוגמאות פתורות

שלוש שאלות מלאות, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 5 יח״ל. שימו לב לשיטה - היא חוזרת על עצמה: מסמנים שיעורים, מחשבים Δx ו-Δy, ומהם נובעים המרחק, האמצע, השיפוע והמשוואה.

דוגמה 1A(1, 2) , B(4, 6)
  1. הפרשים: Δx = 4 - 1 = 3 ו-Δy = 6 - 2 = 4.
  2. מרחק: לפי הנוסחה d = Δx² + Δy² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25.
  3. שיפוע: m = Δy / Δx = 43, כלומר הישר עולה.
  4. המרחק AB = 5, ושיפוע הישר m = 43.
דוגמה 2A(2, 3) , B(8, 7)
  1. אמצע הקטע: ממצעים כל שיעור: M = ((2 + 8)/2 , (3 + 7)/2).
  2. חישוב: (102 , 102) = (5, 5).
  3. בדיקה: המרחק מ-M לכל קצה שווה - M באמת באמצע.
  4. אמצע הקטע הוא M = (5, 5).
דוגמה 3דרך (0, 1) ו-(2, 5) - ומאונך לו
  1. שיפוע: m = (5 - 1)/(2 - 0) = 42 = 2.
  2. משוואת הישר: עם m = 2 והנקודה (0, 1): y - 1 = 2(x - 0), כלומר y = 2x + 1.
  3. שיפוע הניצב: ניצב פירושו m₁ · m₂ = -1, לכן m₂ = -12 = -½.
  4. הישר y = 2x + 1; הניצב לו דרך (0, 1) הוא y = -½x + 1.
תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול אינטראקטיבי

ניקוד: 0 / 0

תרגול מקיף בשלוש רמות: יסוד (מרחק, אמצע ושיפוע ישירים), יישום (משוואת ישר, מקביל, ניצב, חיתוך), ורמת בגרות (בעיה משולבת עם נימוק). פתרו סט, ועברו לסט הבא עם החצים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר הנקודות".

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

0%
שליטה
0חדש
0בלימוד
0בחזרה
0שולט

הנקודות שכדאי לזכור

  • 1מרחק: d = Δx² + Δy² - היתר במשולש ישר-זווית.
  • 2אמצע: M = ((x₁+x₂)/2 , (y₁+y₂)/2) - ממוצע השיעורים.
  • 3שיפוע: m = Δy / Δx; משוואה: y - y₁ = m(x - x₁).
  • 4מקביל / ניצב: m₁ = m₂ מקביל, m₁ · m₂ = −1 ניצב.
  • 5פונקציה: ישר אנכי x = c הוא קבוצת נקודות אך אינו פונקציה.
מפתח פתרונות (תרגול)

    היי! גללו במורד הדף ואני אלווה אתכם עם טיפ בכל שלב של ההנדסה האנליטית.

    תצוגת דף עבודה כל השאלות פתוחות, בלי מענה אינטראקטיבי