תרגול משוואת המעגל
כל מה שלמדנו על המעגל הקנוני - מרכז בראשית x² + y² = r², מרכז מוזז (x - a)² + (y - b)² = r², קריאת הרדיוס r = r², קריאת המרכז עם סימן הפוך, ובדיקת שייכות נקודה בהצבה - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מקריאת רדיוס בודד ועד ניתוח ואיתור טעות ברמת בגרות. זכרו את הלב של הכול: באגף ימין יושב r² ולא r, והסימן במשוואה תמיד הפוך לשיעור המרכז.
בכל שורה בחרו את התוצאה הנכונה לפי משוואת המעגל הקנוני: רדיוס = אגף ימין, כי אגף ימין הוא r² ולא r; מרכז (a, b) נקרא מ-(x - a)² + (y - b)² עם סימן הפוך; ונקודה על המעגל אם (x - a)² + (y - b)² שווה ל-r², בתוכו אם קטן, מחוצה לו אם גדול. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". x² + y² = r² (מרכז בראשית) · (x - 2)² + (y + 1)² נותן מרכז (2, -1) · r = r²
רדיוס, מרכז או שייכות? אותה משוואה, כמה שאלות שונות - וכולן נשענות על אותו מבנה. "מה הרדיוס?" - מוציאים שורש מאגף ימין, r = r². "מה המרכז?" - קוראים מ-(x - a)² + (y - b)² עם סימן הפוך. "האם הנקודה על המעגל?" - מציבים ומשווים ל-r²: שווה על, קטן בפנים, גדול בחוץ. תמיד מתחילים באותו צעד: מזהים את המרכז ואת r². נעבור כאן על הצורות בקצרה, ואז לתרגול המדורג.
האנטומיה של משוואת המעגל - תזכורת
נזכר שוב במבנה: לכל מעגל אנליטי מרכז (a, b) ורדיוס r, והמשוואה (x - a)² + (y - b)² = r² אינה אלא נוסחת המרחק בריבוע. באגף ימין יושב r², ולכן הרדיוס הוא r². הנה התמונה המלאה על הדוגמה x² + y² = 25 - מעגל ברדיוס 5 סביב הראשית, והנקודה (3, 4) עליו.
שש כרטיסיות תזכורת
שישה מושגים ממשוואת המעגל הקנוני של 5 יח״ל, בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: מההגדרה, דרך מעגל סביב הראשית, הרדיוס מהמשוואה, הזזת המרכז וסימניו, ועד שייכות נקודה. ואז לתרגול המדורג.
ההגדרה: מרחק קבוע
מעגל הוא אוסף כל הנקודות שמרחקן ממרכז קבוע שווה בדיוק לרדיוס r. כל השאר נובע מנוסחת המרחק.
מעגל סביב הראשית
כשהמרכז בראשית, המרחק של (x, y) מהראשית הוא x² + y². משווים לרדיוס ומעלים בריבוע: x² + y² = r².
הרדיוס מהמשוואה
באגף ימין יושב r², לא r. לכן ב-x² + y² = 25 הרדיוס הוא r = 25 = 5, לא 25. תמיד מוציאים שורש.
הזזת המרכז
כדי להזיז את המרכז אל (a, b) מחליפים x ב-(x - a) ו-y ב-(y - b): (x - a)² + (y - b)² = r².
סימני המרכז
הסימן במשוואה הפוך לשיעור המרכז: מרכז (2, -1) נותן (x - 2)² + (y + 1)², כי y - (-1) = y + 1.
שייכות נקודה למעגל
מציבים ומשווים ל-r²: שווה - על המעגל, קטן - בפנים, גדול - בחוץ. הנקודה (3, 4) על x² + y² = 25 כי 3² + 4² = 25.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות צעד אחר צעד. השיטה קבועה: מזהים מרכז ורדיוס, כותבים או קוראים את המשוואה, ובודקים שייכות נקודה בהצבה. אותה שיטה תעבוד בתרגול.
- מרכז ורדיוס: המשוואה בצורה x² + y² = r², ולכן המרכז בראשית (0, 0) ו-r² = 25, כלומר r = 25 = 5.
- בדיקת הנקודה (3, 4): מציבים באגף שמאל: 3² + 4² = 9 + 16 = 25.
- השוואה: קיבלנו 25 = 25 - הנקודה מקיימת את המשוואה.
- המעגל ברדיוס 5 סביב הראשית, והנקודה (3, 4) נמצאת עליו.
- תבנית ההזזה: מעגל שמרכזו (a, b) ורדיוסו r הוא (x - a)² + (y - b)² = r².
- הצבת המרכז: כאן a = 2 ו-b = -1, אז (x - 2)² + (y - (-1))² = (x - 2)² + (y + 1)².
- הצבת הרדיוס: r = 3, ולכן אגף ימין הוא r² = 9.
- משוואת המעגל היא (x - 2)² + (y + 1)² = 9.
- הרעיון: משווים את מרחק הנקודה בריבוע מהמרכז אל r² = 25: קטן ← בפנים, שווה ← על המעגל, גדול ← בחוץ.
- הצבה: 6² + 3² = 36 + 9 = 45.
- השוואה: 45 > 25, ולכן הנקודה רחוקה מהמרכז יותר מהרדיוס.
- הנקודה (6, 3) נמצאת מחוץ למעגל x² + y² = 25.
תרגול מדורג - משוואת המעגל הקנוני
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: רדיוס, מרכז ובדיקת נקודה בסיסית; כתיבת משוואה ושייכות נקודה; מרכז מוזז ונימוק; ועד ניתוח, איתור טעות וטענות נכון או לא נכון ברמת בגרות. כל הרדיוסים יוצאים שלמים וכל ההצבות נקיות. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר המעגל". בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1הגדרה: מעגל = כל הנקודות שמרחקן מהמרכז שווה ל-r.
- 2סביב הראשית: x² + y² = r².
- 3הרדיוס: r = r² - מוציאים שורש מאגף ימין.
- 4מרכז מוזז: (x - a)² + (y - b)² = r², סימן הפוך לשיעור המרכז.
- 5שייכות: מציבים; שווה ← על המעגל, קטן ← בפנים, גדול ← בחוץ.
| הנתון | החישוב | התוצאה |
|---|---|---|
| x² + y² = 25 | r = 25 | r = 5 · מרכז (0, 0) |
| מרכז (2, -1), r = 3 | (x - 2)² + (y + 1)² | = 9 |
| (3, 4) על x² + y² = 25 | 3² + 4² = 25 | = r² · על המעגל |
| (6, 3), x² + y² = 25 | 6² + 3² = 45 | 45 > 25 · מחוץ |
| (x + 3)² + (y - 4)² = 16 | סימן הפוך | מרכז (-3, 4) · r = 4 |
