כל מעגל הוא משוואה אחת
מעגל הוא אוסף כל הנקודות שמרחקן ממרכז קבוע שווה לרדיוס. מנוסחת המרחק מקבלים מיד את המשוואה: מעגל שמרכזו בראשית הוא x² + y² = r², וכשמזיזים את המרכז אל (a, b) מקבלים (x − a)² + (y − b)² = r². נקודה נמצאת על המעגל בדיוק כאשר היא מקיימת את המשוואה. הזיזו את המרכז ואת הרדיוס במעבדה וראו אילו נקודות יושבות על המעגל.
איך משוואה אחת קולעת בדיוק לכל נקודה על מעגל? חשבו על עז קשורה ביתד: היא יכולה להגיע לכל נקודה שמרחקה מהיתד שווה בדיוק לאורך החבל, לא יותר ולא פחות. אוסף הנקודות האלה מצייר מעגל. אם היתד יושב בראשית והחבל באורך r, אז נקודה (x, y) נמצאת על המעגל בדיוק כאשר המרחק שלה מהראשית הוא r - כלומר x² + y² = r, ובריבוע x² + y² = r². בדף הזה נלמד לקרוא ולכתוב את המשוואה הזו, גם כשהיתד זז אל נקודה כלשהי.
האנטומיה של משוואת המעגל
לכל מעגל אנליטי אותם שני מרכיבים: מרכז (a, b) ורדיוס r. המשוואה (x − a)² + (y − b)² = r² אינה אלא נוסחת המרחק בריבוע - היא אומרת שהמרחק מכל נקודה על המעגל אל המרכז שווה בדיוק ל-r. הנה המפה המלאה על הדוגמה x² + y² = 25, מעגל ברדיוס 5 סביב הראשית:
מה מרכיב את משוואת המעגל
שישה מושגים שנותנים שליטה מלאה במעגל הקנוני, בדיוק כפי שהם נדרשים ב-5 יח״ל. נסו לשנות במעבדה שלמעלה את הרדיוס ואת המרכז תוך כדי קריאה, והזיזו את נקודת הבדיקה כדי לראות מתי היא על המעגל, בתוכו או מחוצה לו.
ההגדרה: מרחק קבוע
מעגל הוא אוסף כל הנקודות במישור שמרחקן ממרכז קבוע שווה בדיוק לרדיוס r. הרעיון הזה הוא כל מה שצריך - כל השאר נובע מנוסחת המרחק.
מעגל סביב הראשית
כשהמרכז בראשית, המרחק של (x, y) מהראשית הוא x² + y². משווים לרדיוס ומעלים בריבוע ומקבלים את המשוואה הקנונית x² + y² = r².
הרדיוס מהמשוואה
באגף ימין של x² + y² = r² יושב r², ולא r. לכן ב-x² + y² = 25 הרדיוס הוא r = 25 = 5, לא 25. תמיד מוציאים שורש.
הזזת המרכז
כדי להזיז את המרכז אל (a, b) מחליפים x ב-(x − a) ו-y ב-(y − b). מתקבל (x − a)² + (y − b)² = r² - שוב נוסחת המרחק, הפעם מהמרכז החדש.
סימני המרכז
שימו לב לסימנים: מרכז (2, −1) נותן (x − 2)² + (y + 1)², כי y − (−1) = y + 1. הסימן במשוואה תמיד הפוך לסימן של שיעור המרכז.
שייכות נקודה למעגל
נקודה על המעגל אם היא מקיימת את המשוואה. הנקודה (3, 4) על x² + y² = 25 כי 3² + 4² = 9 + 16 = 25. אם הסכום קטן מ-r² - הנקודה בפנים; גדול - בחוץ.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 5 יח״ל. שימו לב לשיטה: מזהים מרכז ורדיוס, כותבים או קוראים את המשוואה, ובודקים שייכות נקודה על ידי הצבה.
- מרכז ורדיוס: המשוואה בצורה x² + y² = r², ולכן המרכז בראשית (0, 0) ו-r² = 25, כלומר r = 25 = 5.
- בדיקת הנקודה (3, 4): מציבים באגף שמאל: 3² + 4² = 9 + 16 = 25.
- השוואה לאגף ימין: קיבלנו 25 = 25 - הנקודה מקיימת את המשוואה.
- המעגל ברדיוס 5 סביב הראשית, והנקודה (3, 4) נמצאת עליו.
- תבנית ההזזה: מעגל שמרכזו (a, b) ורדיוסו r הוא (x − a)² + (y − b)² = r².
- הצבת המרכז: כאן a = 2 ו-b = −1, אז (x − 2)² + (y − (−1))² = (x − 2)² + (y + 1)².
- הצבת הרדיוס: r = 3, ולכן אגף ימין הוא r² = 9.
- משוואת המעגל היא (x − 2)² + (y + 1)² = 9.
- הרעיון: משווים את מרחק הנקודה בריבוע מהמרכז אל r² = 25: קטן ← בפנים, שווה ← על המעגל, גדול ← בחוץ.
- הצבה: 6² + 3² = 36 + 9 = 45.
- השוואה: 45 > 25, ולכן הנקודה רחוקה מהמרכז יותר מהרדיוס.
- הנקודה (6, 3) נמצאת מחוץ למעגל x² + y² = 25.
תרגול אינטראקטיבי
תרגול מקיף בשלוש רמות: יסוד (רדיוס, מרכז ובדיקת נקודה), יישום (כתיבת משוואה, שייכות נקודה, נקודת קצה), ורמת בגרות (מרכז מוזז עם נימוק). פתרו סט, ועברו לסט הבא עם החצים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר המעגל".
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1הגדרה: מעגל = כל הנקודות שמרחקן מהמרכז שווה ל-r.
- 2סביב הראשית: x² + y² = r².
- 3הרדיוס: r = r² - מוציאים שורש מאגף ימין.
- 4מרכז מוזז: (x − a)² + (y − b)² = r², סימן הפוך לשיעור המרכז.
- 5שייכות: מציבים; שווה ← על המעגל, קטן ← בפנים, גדול ← בחוץ.
