נדב כץלמידה ברמה אחרת
מתמטיקה · י׳ · 5 יח״ל 5 יחידות
גאומטריית המעגל · זוויות, מיתרים ומשיקים · תרגול מדורג

תרגול גאומטריית המעגל - זוויות, מיתרים ומשיקים

כל משפטי המעגל שלמדנו - זווית היקפית = מחצית המרכזית על אותה קשת, זווית היקפית על קוטר 90°, זוויות היקפיות על אותה קשת שוות, אנך מהמרכז חוצה מיתר, במרובע חסום זוויות נגדיות משלימות ל-180°, ומשיק מאונך לרדיוס (אורך המשיק OP² - r²) - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מזיהוי וחישוב ישיר ועד הוכחה ואיתור טעות ברמת בגרות. זכרו את הכלל המרכזי: היקפית = ½ · מרכזית.

מעבדת המעגל - בחרו את הערך הנכון בכל שורה בחרו את הערך הנכון לפי המשפט: היקפית מחצית המרכזית, על קוטר 90°, נגדיות במרובע חסום 180°, ואורך משיק בפיתגורס

בכל שורה בחרו את הערך הנכון לפי משפטי המעגל. זכרו: זווית היקפית שווה למחצית המרכזית על אותה קשת (מרכזית = פי שניים מההיקפית), זווית היקפית על קוטר היא 90°, במרובע חסום זוויות נגדיות משלימות ל-180°, אורך המשיק הוא OP² - r², והאנך מהמרכז חוצה את המיתר. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". היקפית = מחצית המרכזית · על קוטר 90° · נגדיות 180°

משפט אחד, וכל המעגל נפתח. כמעט כל שאלה על המעגל חוזרת לאותו כלל: זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת. ממנו נובע ישירות שזווית היקפית על קוטר היא 90° (כי המרכזית שלה היא הזווית השטוחה 180°), שזוויות היקפיות על אותה קשת שוות זו לזו, ושבמרובע חסום זוויות נגדיות משלימות ל-180°. לצד הזוויות נזכיר גם את המיתר (אנך מהמרכז חוצה אותו) ואת המשיק (מאונך לרדיוס, ואורכו OP² - r²). נזכיר כאן את המשפטים, ומשם לתרגול המדורג.

מבט מקרוב

האנטומיה של משפט הזווית ההיקפית - תזכורת

נזכר בכלל המרכזי של התרגול: זווית מרכזית ראשה במרכז O, וזווית היקפית ראשה על ההיקף; כששתיהן נשענות על אותה קשת AB מתקיים ∠ACB = ½ · ∠AOB. הנה המפה על דוגמה: מרכזית של 100° נותנת זווית היקפית של 50° - אותה תמונה תלווה אתכם בתרגול.

הזווית ההיקפית ∠ACB = 50° - מחצית המרכזית ∠AOB = 100°
O C A B 100° 50° היקפית ∠ACB = ½ · ∠AOB = ½ · 100° = 50°
תזכורת לפני התרגול

ששת משפטי המעגל - בקצרה

שישה משפטים מגאומטריית המעגל של כיתה י׳ (5 יח״ל), בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: מזווית מרכזית והיקפית, דרך הזווית על הקוטר, המיתר והמרובע החסום, ועד המשיק. ואז לתרגול המדורג.

1

זווית מרכזית וזווית היקפית

זווית היקפית הנשענת על קשת שווה למחצית הזווית המרכזית על אותה קשת: ∠ACB = ½ · ∠AOB. ובכיוון ההפוך - המרכזית פי שניים מההיקפית. מרכזית 100° נותנת היקפית 50°.

2

זווית היקפית על קוטר

כאשר המיתר הוא קוטר, המרכזית היא הזווית השטוחה 180°, ולכן ההיקפית שנשענת עליו היא ½ · 180° = 90°. זווית היקפית על קוטר היא תמיד ישרה.

3

זוויות היקפיות על אותה קשת

כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו - כולן מחצית של אותה זווית מרכזית. שני "צופים" שונים על ההיקף רואים את המיתר באותה זווית בדיוק.

4

אנך מהמרכז למיתר

אנך היורד מהמרכז אל מיתר חוצה אותו לשני חלקים שווים. נוצרות שתי משולשות ישרות-זווית חופפות, ואפשר לחשב את המרחק מהמרכז אל המיתר בעזרת פיתגורס.

5

מרובע חסום במעגל

במרובע שכל ארבעת קודקודיו על המעגל, סכום כל זוג זוויות נגדיות הוא 180°. אם זווית אחת היא 70°, הנגדית לה היא 180° - 70° = 110°.

6

משיקים למעגל

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה, ולכן OT ⟂ PT. שני משיקים מנקודה חיצונית אחת שווים באורכם. אורך המשיק בפיתגורס: PT = OP² - r².

100°
מרכזית - ראש ב-O
מרכזית 100° נשענת על הקשת מהמרכז
50°
היקפית - ראש על ההיקף
היקפית 50° נשענת על אותה קשת מההיקף
נפתור יחד

דוגמאות פתורות

שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד. שימו לב לכלים החוזרים: היקפית = מחצית המרכזית, זווית נגדית במרובע חסום, ואורך משיק בפיתגורס. אותם כלים יעבדו בתרגול.

דוגמה 1∠AOB = 100° (מרכזית) → ∠ACB = ? (היקפית על אותה קשת)
  1. זיהוי הזוויות: ∠AOB מרכזית (ראשה במרכז O) ו-∠ACB היקפית (ראשה על ההיקף), ושתיהן נשענות על אותה קשת AB.
  2. משפט הזווית ההיקפית: זווית היקפית שווה למחצית המרכזית על אותה קשת: ∠ACB = ½ · ∠AOB.
  3. הצבה: ∠ACB = ½ · 100° = 50°.
  4. הזווית ההיקפית היא ∠ACB = 50°.
דוגמה 2מרובע חסום ABCD, ∠A = 70° → ∠C = ?
  1. זיהוי: המרובע ABCD חסום במעגל - כל ארבעת קודקודיו על ההיקף.
  2. משפט המרובע החסום: סכום זוג זוויות נגדיות הוא 180°: ∠A + ∠C = 180°.
  3. חילוץ: ∠C = 180° - ∠A = 180° - 70°.
  4. הזווית הנגדית היא ∠C = 110°.
דוגמה 3נקודה P במרחק OP = 13 מהמרכז, רדיוס r = 5 → אורך המשיק PT = ?
  1. המשיק מאונך לרדיוס: בנקודת ההשקה T מתקיים OT ⟂ PT, ולכן המשולש OTP ישר-זווית ב-T.
  2. משפט פיתגורס: OP² = OT² + PT², כלומר PT² = OP² - r².
  3. הצבה: PT² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144, ולכן PT = 144.
  4. אורך המשיק הוא PT = 12.
תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול מדורג - גאומטריית המעגל

ניקוד: 0 / 0

ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: יסוד (זווית, זווית נגדית ומשיק ישירים); יישום (חישוב דו-שלבי, מיתר ומשיק בפיתגורס); רמה מוגברת (זווית על קוטר, זוויות שוות ונימוק); ועד רמת בגרות (הוכחה, שווה-שוקיים ואיתור טעות). כל השאלות מבוססות על המשפטים של כיתה י׳ 5 יח״ל, וכל זווית ואורך יוצאים נקיים ובני-בדיקה. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר המעגל" שמחשבת מרכזית↔היקפית, זווית נגדית ואורך משיק. בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

0%
שליטה
0חדש
0בלימוד
0בחזרה
0שולט

הנקודות שכדאי לזכור

  • 1זווית היקפית: היקפית = ½ · מרכזית על אותה קשת (ובהפוך - מרכזית פי שניים).
  • 2על קוטר: זווית היקפית הנשענת על קוטר היא 90°.
  • 3אותה קשת: זוויות היקפיות על אותה קשת שוות; אנך מהמרכז חוצה את המיתר.
  • 4מרובע חסום: זוויות נגדיות משלימות ל-180°.
  • 5משיק: מאונך לרדיוס; אורך המשיק OP² - r²; שני משיקים מנקודה שווים.
ששת משפטי המעגל במבט אחד
המשפטהתוצאהלזכור
זווית מרכזית והיקפיתהיקפית = ½ · מרכזיתעל אותה קשת; מרכזית פי שניים מההיקפית
זווית על קוטר90°המרכזית שטוחה 180°, וההיקפית מחציתה
אותה קשתזוויות שוותכל ההיקפיות על אותה קשת שוות זו לזו
אנך מהמרכז למיתרחוצה את המיתרשתי משולשות ישרות-זווית חופפות; פיתגורס למרחק
מרובע חסוםנגדיות = 180°180° - הזווית נותן את הנגדית
משיק למעגלPT = OP² - r²מאונך לרדיוס; שני משיקים מנקודה שווים
מפתח פתרונות (תרגול)

    זוויות במעגל. ההבחנה הראשונה תמיד: ראש הזווית במרכז, או על ההיקף.

    תצוגת דף עבודה כל השאלות פתוחות, בלי מענה אינטראקטיבי