כל המשפטים של המעגל - עם הוכחה
זווית היקפית שווה תמיד למחצית הזווית המרכזית שנשענת על אותה קשת: היקפית = ½ · מרכזית. משם נגזרים כל שאר משפטי המעגל - זווית היקפית על קוטר היא 90°, אנך מהמרכז חוצה מיתר, במרובע חסום זוויות נגדיות משלימות ל-180°, ומשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה. הזיזו את הנקודות במעבדה וראו כיצד הזווית ההיקפית עוקבת אחרי המרכזית.
שני צופים מסתכלים על אותה קשת - ולכולם אותה זווית. דמיינו קשת אחת של מעגל, ומרכז המעגל שרואה אותה בזווית מסוימת - הזווית המרכזית. עכשיו כל נקודה על הקשת השנייה "רואה" את אותה קשת בדיוק בחצי מהזווית הזו, וזה נכון לכל נקודה על ההיקף. זהו משפט הזווית ההיקפית: היקפית = ½ · מרכזית. ממנו נובע ישירות שזווית היקפית הנשענת על קוטר היא בדיוק 90° - כי המרכזית שלה היא הזווית השטוחה 180°. בדף הזה נוכיח את המשפט ונשתמש בו לפתור זוויות, מיתרים, מרובעים חסומים ומשיקים.
האנטומיה של משפט הזווית ההיקפית
זווית מרכזית ראשה במרכז המעגל O, וזווית היקפית ראשה על ההיקף; כאשר שתיהן נשענות על אותה קשת AB מתקיים ∠ACB = ½ · ∠AOB. הנה המפה על דוגמה: מרכזית של 100° נותנת זווית היקפית של 50°.
ששת משפטי המעגל
שישה משפטים שנותנים שליטה מלאה במעגל, בדיוק כפי שהם נדרשים ב-5 יח״ל - כל אחד עם ההצדקה שלו. גררו את נקודת ההיקף במעבדה שלמעלה תוך כדי קריאה, וראו שהזווית ההיקפית תמיד נשארת מחצית המרכזית.
זווית מרכזית וזווית היקפית
זווית היקפית הנשענת על קשת שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת: ∠ACB = ½ · ∠AOB. למשל מרכזית 100° נותנת היקפית 50°.
זווית היקפית על קוטר
כאשר המיתר הוא קוטר, הזווית המרכזית היא הזווית השטוחה 180°, ולכן הזווית ההיקפית שנשענת עליו היא בדיוק ½ · 180° = 90°. זווית היקפית על קוטר היא ישרה.
זוויות היקפיות על אותה קשת
כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו - כולן מחצית של אותה זווית מרכזית. לכן שני "צופים" שונים על ההיקף רואים את המיתר באותה זווית בדיוק.
אנך מהמרכז למיתר
אנך היורד מהמרכז אל מיתר חוצה אותו לשני חלקים שווים. נוצרות שתי משולשות ישרות-זווית חופפות, וזה מאפשר לחשב מרחק מהמרכז אל מיתר בעזרת משפט פיתגורס.
מרובע חסום במעגל
במרובע שכל ארבעת קודקודיו על המעגל, סכום כל זוג זוויות נגדיות הוא 180°. אם זווית אחת היא 70°, הנגדית לה היא 180° − 70° = 110°.
משיקים למעגל
המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה, ולכן OP ⟂ הרדיוס. שני משיקים מנקודה חיצונית אחת שווים באורכם. אורך המשיק נמצא בפיתגורס: OP² − r².
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 5 יח״ל: זווית היקפית ממרכזית, זווית נגדית במרובע חסום, ואורך משיק בעזרת פיתגורס. שימו לב לנימוק בכל שלב - זה הלב של ההוכחה.
- זיהוי הזוויות: ∠AOB מרכזית (ראשה במרכז O) ו-∠ACB היקפית (ראשה על ההיקף), ושתיהן נשענות על אותה קשת AB.
- משפט הזווית ההיקפית: זווית היקפית שווה למחצית המרכזית על אותה קשת: ∠ACB = ½ · ∠AOB.
- הצבה: ∠ACB = ½ · 100° = 50°.
- הזווית ההיקפית היא ∠ACB = 50°.
- זיהוי: המרובע ABCD חסום במעגל - כל ארבעת קודקודיו על ההיקף.
- משפט המרובע החסום: סכום זוג זוויות נגדיות הוא 180°: ∠A + ∠C = 180°.
- חילוץ: ∠C = 180° − ∠A = 180° − 70°.
- הזווית הנגדית היא ∠C = 110°.
- המשיק מאונך לרדיוס: בנקודת ההשקה T מתקיים OT ⟂ PT, ולכן המשולש OTP ישר-זווית ב-T.
- משפט פיתגורס: OP² = OT² + PT², כלומר PT² = OP² − r².
- הצבה: PT² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144, ולכן PT = 144.
- אורך המשיק הוא PT = 12.
תרגול אינטראקטיבי
תרגול מקיף בשלוש רמות: יסוד (זווית, אורך משיק, זווית נגדית ישירים), יישום (שלב בהוכחה או חישוב דו-שלבי), ורמת בגרות (הוכחה מלאה עם נימוק). פתרו סט, ועברו לסט הבא עם החצים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר המעגל".
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1זווית היקפית: היקפית = ½ · מרכזית על אותה קשת.
- 2על קוטר: זווית היקפית הנשענת על קוטר היא 90°.
- 3מיתר: אנך מהמרכז חוצה את המיתר.
- 4מרובע חסום: זוויות נגדיות משלימות ל-180°.
- 5משיק: מאונך לרדיוס; אורך המשיק OP² − r².
