תרגול פעולות על פונקציות
כל מה שלמדנו על בניית פונקציות חדשות - הזזה אנכית ואופקית, שיקוף סביב הצירים, מתיחה, סכום, הפרש, מכפלה ומנה של פונקציות, הרכבה f(g(x)) ו-פונקציה הופכית - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מהצבה ישירה ועד שילוב פעולות ואיתור טעות ברמת בגרות. זכרו את השיטה: בהרכבה מציבים את הפנימית ואז את התוצאה בחיצונית, בהזזה זוכרים את הסימן ההפוך, ובהופכית מחליפים x ו-y ומחלצים.
בכל שורה בחרו את הערך הנכון. השיטה קבועה: בהרכבה מציבים קודם את הפונקציה הפנימית ואז את התוצאה בפונקציה החיצונית, בהזזה זוכרים את הסימן ההפוך של f(x-h), ובהופכית מחליפים x ו-y ומחלצים. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". מציבים · מזיזים · מחליפים ומחלצים
איך גרף אחד הופך למשפחה שלמה? קחו את הפרבולה f(x) = x². אם נחליף כל x ב-x - 2 נקבל (x - 2)² - אותה פרבולה, רק שכל נקודה זזה שתי יחידות ימינה. אם נוסיף +3, כל הגרף עולה שלוש יחידות. סימן מינוס לפני הפונקציה, -f(x), הופך אותה כלפי מטה - שיקוף סביב ציר x. ובהרכבה f(g(x)) מציבים פונקציה שלמה בתוך פונקציה אחרת. נזכיר כאן את הכללים, ואחר כך לתרגול המדורג. זכרו את הסימן ההפוך: f(x - 2) מזיז ימינה, לא שמאלה.
האנטומיה של הזזה ומתיחה - תזכורת
נזכיר את הכללים: f(x-h) מזיז אופקית, f(x)+k אנכית, a·f(x) מותח, ומינוס משקף. הנה המפה על הפרבולה f(x) = x² וההזזה f(x-2) = (x-2)² - אותה תמונה תלווה אתכם בכל שאלה בתרגול.
שש כרטיסיות תזכורת
שישה מושגים שנותנים שליטה מלאה בבניית פונקציות חדשות מפונקציות מוכרות, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד של 5 יח״ל: מהזזה ושיקוף, דרך מתיחה ופעולות אריתמטיות, ועד ההרכבה והפונקציה ההופכית. ואז לתרגול המדורג.
הזזה אנכית ואופקית
f(x)+k מזיז את הגרף k יחידות למעלה (או למטה אם k<0). f(x-h) מזיז אותו h יחידות ימינה - שימו לב לסימן ההפוך: x-2 נותן הזזה ימינה. למשל f(x)=x² עם f(x)+3 עולה 3 למעלה.
שיקוף לצירים
-f(x) משקף את הגרף סביב ציר x (מה שהיה למעלה יורד למטה). f(-x) משקף סביב ציר y (החלפת שמאל־ימין). למשל עבור f(x)=x² מתקיים -f(x) = -x² - פרבולה הפתוחה כלפי מטה.
מתיחה
a·f(x) מותח את הגרף אנכית בפקטור a: אם a>1 הגרף נעשה "צר" יותר, ואם 0<a<1 הוא "רחב" יותר. a<0 משלב מתיחה עם שיקוף. למשל 2f(x)=2x² תלול פי שניים.
פעולות אריתמטיות
אפשר לחבר, לחסר, להכפיל ולחלק פונקציות נקודה־נקודה: (f+g)(x)=f(x)+g(x), וכן להפרש, למכפלה ולמנה. הפונקציה 1/f מוגדרת בכל מקום שבו f(x)≠0.
הרכבת פונקציות
בהרכבה f(g(x)) מציבים את כל g(x) במקום x בתוך f. למשל עם f(x)=x² ו-g(x)=x+1 מקבלים f(g(x)) = (x+1)². שימו לב שהסדר חשוב: בדרך כלל f(g(x)) ≠ g(f(x)).
הפונקציה ההופכית
ההופכית f⁻¹ "מבטלת" את f: מחליפים x ו-y ומחלצים. למשל עבור f(x)=2x+1 כותבים y=2x+1, מחליפים ל-x=2y+1 ומקבלים f⁻¹(x) = x-1⁄2.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 5 יח״ל: הזזה, הרכבה ופונקציה הופכית. שימו לב לשיטה - בהרכבה מציבים, ובהופכית מחליפים x ו-y ומחלצים. אותה שיטה תעבוד בתרגול.
- הצבה: מחליפים כל x ב-x-2: f(x-2) = (x-2)².
- פירוש גאומטרי: החלפת x ב-x-2 מזיזה כל נקודה שתי יחידות ימינה, אז קודקוד הפרבולה עובר מ-(0,0) ל-(2,0).
- הוספת +3: אם נוסיף בהמשך +3 נקבל (x-2)²+3 - הזזה נוספת של שלוש יחידות מעלה, כלומר קודקוד ב-(2,3).
- f(x-2) = (x-2)²: הזזה 2 ימינה; ועם +3 קודקוד ב-(2, 3).
- זיהוי הפנימית: ב-f(g(x)) הפונקציה הפנימית היא g(x) = x + 1.
- הצבה: מציבים את כל g(x) במקום x בתוך f: f(g(x)) = (x + 1)².
- בדיקת סדר: בכיוון ההפוך g(f(x)) = f(x) + 1 = x² + 1 - שונה מ-(x+1)², אז הסדר חשוב.
- f(g(x)) = (x + 1)² (ואילו g(f(x)) = x² + 1).
- כתיבה כ-y: כותבים y = 2x + 1.
- החלפת x ו-y: x = 2y + 1.
- חילוץ y: 2y = x - 1, ולכן y = x-1⁄2.
- f⁻¹(x) = x-1⁄2. בדיקה: f(f⁻¹(x)) = 2·x-1⁄2 + 1 = x. ✓
תרגול מדורג - פעולות על פונקציות והזזות
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: הצבה, הזזה ושיקוף; הרכבה בשני הכיוונים, פעולות והופכית; מתיחה, פעולות והרכבה עצמית; ועד שילוב פעולות ואיתור טעות ברמת בגרות. כל השאלות מבוססות על הפעולות שנלמדו בכיתה י׳ 5 יח״ל, והתשובות יוצאות נקיות. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר ההרכבה" שמחשבת הרכבה, הרכבה הפוכה והופכית. בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1הזזה: f(x)+k מעלה/מטה, f(x-h) ימינה/שמאלה (סימן הפוך).
- 2שיקוף: -f(x) סביב ציר x, f(-x) סביב ציר y.
- 3מתיחה: a·f(x) מותח אנכית; a<0 משקף בנוסף.
- 4הרכבה: f(g(x)) - מציבים את g בתוך f; הסדר חשוב.
- 5הופכית: מחליפים x↔y ומחלצים; f⁻¹ מבטלת את f.
