להזיז, למתוח ולשקף כל פונקציה
מפונקציית־בסיס אחת אפשר לבנות משפחה שלמה: f(x−2) מזיז את הגרף ימינה, f(x)+3 מעלה אותו, −f(x) משקף אותו סביב ציר x, ו-a·f(x) מותח אותו. נוסיף פעולות: סכום, הפרש, מכפלה ומנה של פונקציות, הפונקציה ההופכית, וההרכבה f(g(x)). הזיזו את הידיות במעבדה וראו את הגרף זז יחד איתכם.
איך גרף אחד הופך למשפחה שלמה? קחו את הפרבולה f(x) = x². אם נחליף כל x ב-x − 2 נקבל (x − 2)² - אותה פרבולה בדיוק, רק שכל נקודה זזה שתי יחידות ימינה. אם נוסיף +3 בסוף, הגרף כולו עולה שלוש יחידות. סימן מינוס לפני הפונקציה, −f(x), הופך אותה כלפי מטה - שיקוף סביב ציר x. אותם כללים פשוטים עובדים על כל פונקציה, ולכן ברגע שמכירים אותם אפשר לצייר עשרות גרפים בלי חישוב מסובך.
האנטומיה של הזזה ומתיחה
כל שינוי בנוסחה מזיז את הגרף בצורה צפויה. f(x−h) מזיז אופקית, f(x)+k אנכית, a·f(x) מותח, ומינוס משקף. הנה המפה על הפרבולה f(x) = x² וההזזה f(x−2) = (x−2)²:
מה מרכיב פעולות על פונקציות
שישה מושגים שנותנים שליטה מלאה בבניית פונקציות חדשות מפונקציות מוכרות, בדיוק כפי שהם נדרשים ב-5 יח״ל. נסו לשנות במעבדה שלמעלה את ההזזה, המתיחה והשיקוף תוך כדי קריאה, וצפו איך הגרף g נבנה מ-f.
הזזה אנכית ואופקית
f(x)+k מזיז את הגרף k יחידות למעלה (או למטה אם k<0). f(x−h) מזיז אותו h יחידות ימינה - שימו לב לסימן ההפוך: x−2 נותן הזזה ימינה. למשל f(x)=x² ⟵ f(x)+3 עולה 3 למעלה.
שיקוף לצירים
−f(x) משקף את הגרף סביב ציר x (מה שהיה למעלה יורד למטה). f(−x) משקף סביב ציר y (החלפת שמאל־ימין). למשל עבור f(x)=x² מתקיים −f(x) = −x² - פרבולה הפוכה.
מתיחה
a·f(x) מותח את הגרף אנכית בפקטור a: אם a>1 הגרף נעשה "צר" יותר, ואם 0<a<1 הוא "רחב" יותר. a<0 משלב מתיחה עם שיקוף. למשל 2f(x)=2x² תלול פי שניים.
פעולות אריתמטיות
אפשר לחבר, לחסר, להכפיל ולחלק פונקציות נקודה־נקודה: (f+g)(x)=f(x)+g(x), וכן להפרש, למכפלה ולמנה. הפונקציה 1⁄f מוגדרת בכל מקום שבו f(x)≠0.
הרכבת פונקציות
בהרכבה f(g(x)) מציבים את כל g(x) במקום x בתוך f. למשל עם f(x)=x² ו-g(x)=x+1 מקבלים f(g(x)) = (x+1)². שימו לב שהסדר חשוב: בדרך כלל f(g(x)) ≠ g(f(x)).
הפונקציה ההופכית
ההופכית f⁻¹ "מבטלת" את f: מחליפים x ו-y ומחלצים. למשל עבור f(x)=2x+1 כותבים y=2x+1, מחליפים ל-x=2y+1 ומקבלים f⁻¹(x) = x−1⁄2.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 5 יח״ל: הזזה, הרכבה ופונקציה הופכית. שימו לב לשיטה - בהרכבה מציבים, ובהופכית מחליפים x ו-y ומחלצים.
- הצבה: מחליפים כל x ב-x−2: f(x−2) = (x−2)².
- פירוש גאומטרי: החלפת x ב-x−2 מזיזה כל נקודה שתי יחידות ימינה, אז קודקוד הפרבולה עובר מ-(0,0) ל-(2,0).
- הוספת +3: אם נוסיף בהמשך +3 נקבל (x−2)²+3 - הזזה נוספת של שלוש יחידות מעלה, כלומר קודקוד ב-(2,3).
- f(x−2) = (x−2)²: הזזה 2 ימינה; ועם +3 קודקוד ב-(2, 3).
- זיהוי הפנימית: ב-f(g(x)) הפונקציה הפנימית היא g(x) = x + 1.
- הצבה: מציבים את כל g(x) במקום x בתוך f: f(g(x)) = (x + 1)².
- בדיקת סדר: בכיוון ההפוך g(f(x)) = f(x) + 1 = x² + 1 - שונה מ-(x+1)², אז הסדר חשוב.
- f(g(x)) = (x + 1)² (ואילו g(f(x)) = x² + 1).
- כתיבה כ-y: כותבים y = 2x + 1.
- החלפת x ו-y: x = 2y + 1.
- חילוץ y: 2y = x − 1, ולכן y = x−1⁄2.
- f⁻¹(x) = x−1⁄2. בדיקה: f(f⁻¹(x)) = 2·x−1⁄2 + 1 = x. ✓
תרגול אינטראקטיבי
תרגול מקיף בשלוש רמות: יסוד (הזזה, שיקוף וחישוב ישיר), יישום (הרכבה והופכית רב־שלבית), ורמת בגרות (שילוב פעולות עם נימוק). פתרו סט, ועברו לסט הבא עם החצים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר ההרכבה".
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1הזזה: f(x)+k מעלה/מטה, f(x−h) ימינה/שמאלה (סימן הפוך).
- 2שיקוף: −f(x) סביב ציר x, f(−x) סביב ציר y.
- 3מתיחה: a·f(x) מותח אנכית בפקטור a.
- 4הרכבה: f(g(x)) - מציבים את g בתוך f; הסדר חשוב.
- 5הופכית: מחליפים x↔y ומחלצים; f⁻¹ מבטלת את f.
