תרגול מקומות גאומטריים ונקודות מיוחדות
כל מה שלמדנו על מקום גאומטרי - אוסף כל הנקודות בעלות תכונה נתונה - ועל שתי הדוגמאות המרכזיות: האנך האמצעי (מרחק שווה משני קצות הקטע) וחוצה הזווית (מרחק שווה משתי השוקיים); ועל ארבע הנקודות המיוחדות במשולש - מרכז הכובד, אורתוצנטר, מרכז המעגל החסום ומרכז המעגל החוסם. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מזיהוי וחישוב ישיר ועד הוכחה, משפט חפיפה רביעי ואיתור טעות ברמת בגרות. זכרו את הכלל המרכזי: מרכז הכובד מחלק כל תיכון ביחס 2:1 מהקודקוד.
בכל שורה בחרו את הערך הנכון. זכרו את התכונות: מרכז הכובד מחלק כל תיכון ביחס 2:1 מהקודקוד (החלק מהקודקוד הוא שני שלישים, החלק אל הצלע שליש); על האנך האמצעי מתקיים PA = PB; חוצה הזווית שומר על מרחק שווה משתי השוקיים; ומרכז המעגל החוסם שוות-מרחק משלושת הקודקודים. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". 2:1 מהקודקוד · מרחק שווה · מקום גאומטרי
אותה תכונה, אוסף אחד של נקודות. מקום גאומטרי הוא אוסף כל הנקודות המקיימות תכונה נתונה - ורק הן. האנך האמצעי לקטע הוא המקום של הנקודות ששוות-מרחק משני קצותיו, וחוצה הזווית הוא המקום של הנקודות ששוות-מרחק משתי שוקיה. במשולש, כל שלישיית קווים מיוחדים נפגשת בנקודה אחת: התיכונים במרכז הכובד, הגבהים באורתוצנטר, חוצי הזווית במרכז המעגל החסום והאנכים האמצעיים במרכז המעגל החוסם. נזכיר כאן את ההגדרות והתכונות, ומשם לתרגול המדורג. זכרו: מרכז הכובד מחלק כל תיכון ביחס 2:1 מהקודקוד.
האנטומיה של התיכון ומרכז הכובד - תזכורת
נזכר שוב בכלל המרכזי של התרגול: תיכון יוצא מקודקוד אל אמצע הצלע שממול, ושלושת התיכונים נחתכים במרכז הכובד. הכלל שחוזר כמעט בכל שאלה: מרכז הכובד מחלק כל תיכון ביחס 2:1 מהקודקוד - החלק מהקודקוד הוא ⅔ מהתיכון (הגדול) והחלק אל הצלע הוא ⅓. הנה המפה על תיכון באורך 12 - אותה תמונה תלווה אתכם בתרגול.
שש כרטיסיות תזכורת
שישה מושגים מפרק המקומות הגאומטריים והנקודות המיוחדות של כיתה י׳ (5 יח״ל), בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: ממקום גאומטרי, דרך האנך האמצעי וחוצה הזווית, אל התיכונים ומרכז הכובד, נקודות המפגש האחרות, ומשפט החפיפה הרביעי. ואז לתרגול המדורג.
מקום גאומטרי
מקום גאומטרי הוא אוסף כל הנקודות המקיימות תכונה נתונה - ורק הן. כדי להוכיח שקו מסוים הוא המקום צריך שני כיוונים: כל נקודה על הקו מקיימת את התכונה, וכל נקודה שמקיימת את התכונה נמצאת על הקו.
האנך האמצעי
האנך האמצעי לקטע AB הוא המקום הגאומטרי של הנקודות ששוות-מרחק מ-A ומ-B. נקודה P מקיימת PA = PB אם ורק אם היא על האנך האמצעי - הניצב לקטע דרך אמצעו.
חוצה הזווית
חוצה הזווית הוא המקום הגאומטרי של הנקודות ששוות-מרחק משתי שוקי הזווית. נקודה על החוצה נמצאת במרחק שווה משתי הצלעות - והמרחק נמדד תמיד לאורך האנך אל כל צלע.
התיכונים ומרכז הכובד
תיכון מחבר קודקוד עם אמצע הצלע שממול. שלושת התיכונים נפגשים במרכז הכובד M, שמחלק כל תיכון ביחס 2:1 מהקודקוד: ⅔ מהקודקוד ל-M, ו-⅓ מ-M אל אמצע הצלע.
גבהים, חוצי זווית, אנכים אמצעיים
שלושת הגבהים נפגשים באורתוצנטר, שלושת חוצי הזווית במרכז המעגל החסום (מרחק שווה מהצלעות), ושלושת האנכים האמצעיים במרכז המעגל החוסם - הנקודה ששוות-מרחק משלושת הקודקודים.
משפט חפיפה רביעי
שני משולשים חופפים גם לפי צלע, צלע והזווית שמול הצלע הגדולה מבין השתיים (צ.צ.ז מול הגדולה). זהו משפט החפיפה הרביעי, כלי מרכזי בהוכחות על מקומות גאומטריים ונקודות מיוחדות.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 5 יח״ל. שימו לב לשיטה: מזהים איזה מקום גאומטרי או נקודה מיוחדת מעורבים, מפעילים את התכונה המדויקת (יחס 2:1, מרחק שווה), ומנמקים כל צעד. אותם כלים יעבדו בתרגול.
- הנתון: במשולש ABC התיכון AD (מ-A אל אמצע BC) באורך 12, ומרכז הכובד הוא M.
- התכונה: מרכז הכובד מחלק כל תיכון ביחס 2:1 מהקודקוד, כלומר AM : MD = 2 : 1.
- חלוקה: סך היחסים 2 + 1 = 3 חלקים על אורך 12, אז חלק אחד הוא 12 : 3 = 4. לכן AM = 2 · 4 = 8 ו-MD = 1 · 4 = 4.
- מרכז הכובד מחלק את התיכון לחלקים AM = 8 ו-MD = 4.
- הנתון: הנקודה P נמצאת על חוצה הזווית ∠A של המשולש, והמרחק ממנה אל צלע אחת הוא 5.
- התכונה: חוצה הזווית הוא המקום הגאומטרי של הנקודות ששוות-מרחק משתי שוקי הזווית; לכן המרחק מ-P אל הצלע השנייה שווה למרחק אל הראשונה.
- נימוק: שני האנכים מ-P אל השוקיים יוצרים שני משולשים חופפים (זווית ישרה, הזווית של החוצה, והחוצה כצלע משותפת).
- המרחק מ-P אל הצלע השנייה שווה ל-5.
- הנתון: O הוא מפגש שלושת האנכים האמצעיים של המשולש ABC, והמרחק OA = 10.
- התכונה: כל נקודה על אנך אמצעי של צלע נמצאת במרחק שווה משני קצות הצלע; לכן מפגש שלושת האנכים האמצעיים שוות-מרחק משלושת הקודקודים - זהו מרכז המעגל החוסם.
- מסקנה: OA = OB = OC, וכולם שווים לרדיוס המעגל החוסם.
- OB = OC = 10 - המרחק הוא הרדיוס, 10.
תרגול מדורג - מקומות גאומטריים ונקודות מיוחדות
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: זיהוי מקום גאומטרי, נקודות המפגש ויחס 2:1 ישיר; יישום היחס, מרחק שווה והגדרות; חלק↔שלם, זהות הנקודות ומרחקים שווים; ועד הוכחה, משפט חפיפה רביעי ואיתור טעות ברמת בגרות. כל השאלות מבוססות על ההגדרות של כיתה י׳ 5 יח״ל, והתשובות המספריות יוצאות נקיות. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר התיכון" שמחשבת את יחס 2:1 ומזהה את נקודת המפגש. בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1מקום גאומטרי: אוסף כל הנקודות בעלות התכונה - ורק הן (הוכחה בשני כיוונים).
- 2אנך אמצעי: המקום של הנקודות ש-PA = PB - מרחק שווה משני קצות הקטע.
- 3חוצה הזווית: המקום של הנקודות שוות-המרחק משתי שוקי הזווית.
- 4מרכז הכובד: מפגש התיכונים, מחלק כל תיכון ביחס 2:1 מהקודקוד (⅔ מהקודקוד, ⅓ אל הצלע).
- 5נקודות מפגש: גבהים→אורתוצנטר, חוצי זווית→מרכז המעגל החסום, אנכים אמצעיים→מרכז המעגל החוסם; ומשפט חפיפה רביעי (צ.צ.ז מול הגדולה).
| המקום / הקו | התכונה לזכור | הנקודה / התוצאה |
|---|---|---|
| אנך אמצעי לקטע | מרחק שווה משני קצות הקטע (PA = PB) | מקום גאומטרי |
| חוצה הזווית | מרחק שווה משתי שוקי הזווית | מקום גאומטרי |
| תיכונים | מחלק כל תיכון 2:1 מהקודקוד | מרכז הכובד |
| גבהים | מאונכים לצלעות | אורתוצנטר |
| חוצי זווית | מרחק שווה משלוש הצלעות | מרכז המעגל החסום |
| אנכים אמצעיים | מרחק שווה משלושת הקודקודים | מרכז המעגל החוסם |
