לאסוף את כל הנקודות עם אותה תכונה
מקום גאומטרי הוא אוסף כל הנקודות המקיימות תכונה נתונה - ורק הן. האנך האמצעי לקטע הוא המקום של כל הנקודות ששוות-מרחק משני קצותיו; חוצה הזווית הוא המקום של כל הנקודות ששוות-מרחק משתי שוקיה. במשולש, שלושת התיכונים נחתכים במרכז הכובד ומחלקים זה את זה ביחס 2:1, שלושת הגבהים נחתכים בנקודה אחת, וכן חוצי הזווית והאנכים האמצעיים. גררו נקודה במעבדה וראו את המקום הגאומטרי מצייר את עצמו.
איפה כדאי לחפור באר, כדי שתהיה במרחק שווה משני בתים? כל נקודה על הקו האמצעי שבין שני הבתים מקיימת בדיוק את התכונה הזו - מרחק שווה משניהם - וכל נקודה שאינה עליו קרובה יותר לאחד מהם. הקו הזה הוא האנך האמצעי לקטע שבין הבתים: המקום הגאומטרי של כל הנקודות שווֹת-המרחק. באותה רוח, נקודה במרחק שווה משתי דרכים שנפגשות יושבת על חוצה הזווית ביניהן. בדף הזה נלמד לזהות מקומות גאומטריים, ולהוכיח מדוע שלושת התיכונים, הגבהים וחוצי הזווית של משולש נפגשים כל אחד בנקודה אחת.
האנטומיה של הנקודות המיוחדות במשולש
לכל משולש ארבע שלישיות של ישרים מיוחדים, וכל שלישייה נפגשת בנקודה אחת: שלושת התיכונים נפגשים במרכז הכובד M ומחלקים זה את זה ביחס 2:1 מהקודקוד; שלושת הגבהים נפגשים במפגש הגבהים; שלושת חוצי הזווית נפגשים במרכז המעגל החסום; ושלושת האנכים האמצעיים נפגשים במרכז המעגל החוסם. הנה המפה על משולש עם תיכון באורך 12:
מה מרכיב את פרק המקומות הגאומטריים
שישה מושגים שנותנים שליטה מלאה במקומות גאומטריים ובנקודות המיוחדות במשולש, בדיוק כפי שהם נדרשים ב-5 יח״ל. גררו את הקודקוד במעבדה שלמעלה תוך כדי קריאה, וצפו איך נקודות המפגש זזות אך התיכונים נשארים חתוכים ביחס 2:1.
מקום גאומטרי
מקום גאומטרי הוא אוסף כל הנקודות המקיימות תכונה נתונה - ורק הן. כדי להוכיח שקו מסוים הוא המקום צריך שני כיוונים: כל נקודה על הקו מקיימת את התכונה, וכל נקודה שמקיימת את התכונה נמצאת על הקו.
האנך האמצעי
האנך האמצעי לקטע AB הוא המקום הגאומטרי של כל הנקודות ששוות-מרחק מ-A ומ-B. נקודה P מקיימת PA = PB אם ורק אם היא על האנך האמצעי - הניצב לקטע דרך אמצעו.
חוצה הזווית
חוצה הזווית הוא המקום הגאומטרי של כל הנקודות ששוות-מרחק משתי שוקי הזווית. נקודה על החוצה נמצאת במרחק שווה משתי הצלעות - והמרחק נמדד תמיד לאורך האנך אל כל צלע.
התיכונים ומרכז הכובד
תיכון מחבר קודקוד עם אמצע הצלע שממול. שלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת - מרכז הכובד M - שמחלקת כל תיכון ביחס 2:1: החלק מהקודקוד ל-M כפול מהחלק מ-M לאמצע הצלע.
גבהים, חוצי זווית, אנכים אמצעיים
גם שלושת הגבהים נפגשים בנקודה אחת (מפגש הגבהים), שלושת חוצי הזווית במרכז המעגל החסום, ושלושת האנכים האמצעיים במרכז המעגל החוסם - הנקודה ששוות-מרחק משלושת הקודקודים.
משפט חפיפה רביעי
שני משולשים חופפים גם לפי צלע, צלע והזווית שמול הצלע הגדולה מבין השתיים (צ.צ.ז מול הגדולה). זהו משפט החפיפה הרביעי, והוא כלי מרכזי בהוכחות על מקומות גאומטריים ונקודות מיוחדות.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 5 יח״ל. שימו לב לשיטה: מזהים איזה מקום גאומטרי או נקודה מיוחדת מעורבים, מפעילים את התכונה המדויקת (יחס 2:1, מרחק שווה), ומנמקים כל צעד.
- הנתון: במשולש ABC התיכון AD (מ-A אל אמצע BC) באורך 12, ומרכז הכובד הוא M.
- התכונה: מרכז הכובד מחלק כל תיכון ביחס 2:1 מהקודקוד, כלומר AM : MD = 2 : 1.
- חלוקה: סך היחסים 2 + 1 = 3 חלקים על אורך 12, אז חלק אחד הוא 12 : 3 = 4. לכן AM = 2·4 = 8 ו-MD = 1·4 = 4.
- מרכז הכובד מחלק את התיכון לחלקים AM = 8 ו-MD = 4.
- הנתון: הנקודה P נמצאת על חוצה הזווית ∠A של המשולש, והמרחק ממנה אל צלע אחת הוא 5.
- התכונה: חוצה הזווית הוא המקום הגאומטרי של הנקודות ששוות-מרחק משתי שוקי הזווית; לכן המרחק מ-P אל הצלע השנייה שווה למרחק אל הראשונה.
- מסקנה: המרחק אל הצלע השנייה הוא גם 5. שני האנכים ל-P יוצרים שני משולשים חופפים (צלע-זווית-זווית עם החוצה כצלע משותפת).
- המרחק מ-P אל הצלע השנייה שווה ל-5.
- הנתון: תיכון באורך 15, ומרכז הכובד M עליו.
- חלוקה ליחסים: היחס 2:1 נותן 2 + 1 = 3 חלקים; חלק אחד הוא 15 : 3 = 5.
- שני החלקים: החלק מהקודקוד ל-M הוא 2·5 = 10, והחלק מ-M לאמצע הצלע הוא 1·5 = 5.
- התיכון מתחלק לחלקים 10 (מהקודקוד) ו-5 (אל אמצע הצלע).
תרגול אינטראקטיבי
תרגול מקיף בשלוש רמות: יסוד (זיהוי מקום גאומטרי, יחס 2:1), יישום (חלוקת תיכון, מרחק שווה, נימוק), ורמת בגרות (הוכחות ונקודות מפגש). פתרו סט, ועברו לסט הבא עם החצים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר התיכון".
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1מקום גאומטרי: אוסף כל הנקודות בעלות התכונה - ורק הן (הוכחה בשני כיוונים).
- 2אנך אמצעי: המקום של הנקודות ש-PA = PB - מרחק שווה משני קצות הקטע.
- 3חוצה הזווית: המקום של הנקודות שווֹת-המרחק משתי שוקי הזווית.
- 4מרכז הכובד: מפגש התיכונים, מחלק כל תיכון ביחס 2:1 מהקודקוד.
- 5נקודות מפגש: גבהים, חוצי זווית ואנכים אמצעיים - כל שלישייה נפגשת בנקודה אחת.
