תרגול חקירת פונקציית פולינום
כל מה שלמדנו על חקירה מלאה של פולינום - תחום וחיתוכים עם הצירים, נגזרת לפי חוק החזקה, איפוס הנגזרת f'(x) = 0 למציאת נקודות חשודות לקיצון, בדיקת שינוי סימן לסיווג מקסימום ומינימום, ותחומי עלייה וירידה - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מגזירה וחישוב ישיר ועד חקירה מלאה ואיתור טעות בסגנון בגרות של 5 יח״ל. זכרו את השיטה: גוזרים, מאפסים את f', בודקים שינוי סימן, ורק אז קובעים עלייה, ירידה וסקיצה.
בכל שורה בחרו את הערך הנכון. השיטה קבועה: גוזרים לפי חוק החזקה, מאפסים את f'(x) כדי למצוא נקודות חשודות לקיצון, ולחישוב ערך מציבים את ה-x חזרה בתוך f. לחיתוך עם ציר y מציבים x = 0. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". גוזרים · מאפסים את f' · ואז מציבים
איפה הפונקציה עולה, ואיפה היא יורדת? חשבו על מסלול של רכבת הרים: יש קטעים שבהם הקרון מטפס, קטעים שבהם הוא צולל, ורגעים של פסגה או של תחתית שבהם הכיוון מתהפך. בדיוק ברגעים האלה שיפוע המשיק מתאפס, כלומר f'(x) = 0. נרענן כאן את שלבי החקירה, ואז לתרגול המדורג. זכרו: קודם גוזרים ומאפסים את f', ורק במקומות האלה יכול להיות קיצון - את סוגו קובעים לפי שינוי הסימן של הנגזרת.
האנטומיה של חקירת פולינום - תזכורת
נזכר שוב בשלבים: גוזרים כדי לקבל את f', פותרים f'(x) = 0 כדי למצוא נקודות חשודות לקיצון, בודקים את שינוי הסימן של f' מסביבן, ומסמנים תחומי עלייה וירידה. הנה המפה המלאה על הדוגמה f(x) = x³ - 3x - אותה תמונה תלווה אתכם בכל שאלה בתרגול.
שש כרטיסיות תזכורת
שישה מושגים שנותנים שליטה מלאה בחקירת כל פולינום, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד של 5 יח״ל: מהנגזרת כשיפוע המשיק, דרך איפוס f' ובדיקת שינוי הסימן, ועד תחומי העלייה והירידה והסקיצה. ואז לתרגול המדורג.
הנגזרת כשיפוע המשיק
הנגזרת f'(x) נותנת את שיפוע המשיק לגרף בכל נקודה. שיפוע חיובי פירושו שהפונקציה עולה, שיפוע שלילי - יורדת, ושיפוע אפס - נקודה שבה הגרף מתיישר לרגע.
חוק החזקה
גוזרים כל איבר בנפרד לפי (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹, עם כלל הסכום וכלל המקדם הקבוע. למשל (x³)' = 3x² ו-(-3x)' = -3, אז (x³ - 3x)' = 3x² - 3.
נקודות חשודות לקיצון
קיצון יכול להיות רק במקום שבו f'(x) = 0. פותרים את המשוואה הזו: בדוגמה 3x² - 3 = 3(x - 1)(x + 1) = 0, ולכן x = -1 ו-x = 1 חשודות.
בדיקת שינוי סימן
בכל נקודה חשודה בודקים את סימן f' משמאל ומימין. אם f' עובר מ-+ ל-- יש מקסימום; אם מ-- ל-+ יש מינימום. (בכיתה י׳ מספיקה בדיקת סימן - קעירות ונקודות פיתול בכיתה יא.)
תחומי עלייה וירידה
היכן ש-f'(x) > 0 הפונקציה עולה, והיכן ש-f'(x) < 0 היא יורדת. בדוגמה f עולה עבור x < -1 ועבור x > 1, ויורדת עבור -1 < x < 1.
תחום, חיתוכים וסקיצה
פולינום מוגדר לכל x. חיתוך עם ציר y ב-(0, f(0)), ועם ציר x היכן ש-f(x) = 0 (פירוק לגורמים). מחברים הכול - חיתוכים, נקודות קיצון וכיווני עלייה/ירידה - לסקיצה מדויקת של הפולינום.
דוגמאות פתורות
שלוש חקירות מלאות, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 5 יח״ל. השיטה קבועה וחוזרת על עצמה: גוזרים, מאפסים את f', בודקים שינוי סימן, וקובעים תחומי עלייה וירידה. אותה שיטה תעבוד בתרגול.
- נגזרת: לפי חוק החזקה f'(x) = 3x² - 3 = 3(x - 1)(x + 1).
- איפוס הנגזרת: f'(x) = 0 ב-x = -1 וב-x = 1 - נקודות חשודות לקיצון.
- שינוי סימן והצבה: ב-x = -1 הנגזרת עוברת מ-+ ל-- (מקסימום), f(-1) = -1 + 3 = 2; ב-x = 1 מ-- ל-+ (מינימום), f(1) = 1 - 3 = -2.
- מקסימום ב-(-1, 2), מינימום ב-(1, -2); עולה עבור x < -1 ועבור x > 1, יורדת עבור -1 < x < 1.
- נגזרת: f'(x) = 3x² - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3).
- איפוס הנגזרת: f'(x) = 0 ב-x = 1 וב-x = 3.
- שינוי סימן והצבה: ב-x = 1 מ-+ ל-- (מקסימום), f(1) = 1 - 6 + 9 = 4; ב-x = 3 מ-- ל-+ (מינימום), f(3) = 27 - 54 + 27 = 0.
- מקסימום ב-(1, 4), מינימום ב-(3, 0); עולה עבור x < 1 ועבור x > 3, יורדת עבור 1 < x < 3.
- חיתוכים: עם ציר y ב-(0, 3); עם ציר x פותרים x² - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) = 0, כלומר (1, 0) ו-(3, 0).
- נגזרת ואיפוסה: f'(x) = 2x - 4 = 0 ב-x = 2.
- שינוי סימן והצבה: f' עובר מ-- ל-+ (מינימום), f(2) = 4 - 8 + 3 = -1.
- מינימום ב-(2, -1); יורדת עבור x < 2, עולה עבור x > 2.
תרגול מדורג - חקירת פונקציית פולינום
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: גזירה, ערך הפונקציה וחיתוך; נקודות קיצון וחיתוכים; סיווג קיצון ותחומי עלייה וירידה; ועד חקירה מלאה ואיתור טעות ברמת בגרות. כל השאלות מבוססות על שלבי החקירה של כיתה י׳ 5 יח״ל, והתשובות יוצאות נקיות. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר החקירה" שגוזרת, מאפסת ומסווגת קיצון של כל פולינום. בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1הנגזרת: f'(x) היא שיפוע המשיק; חיובית ← עלייה, שלילית ← ירידה.
- 2חוק החזקה: (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹, איבר-איבר.
- 3קיצון: רק היכן ש-f'(x) = 0 - נקודה חשודה.
- 4סוג הקיצון: +→- מקסימום, -→+ מינימום (בדיקת סימן).
- 5סקיצה: תחום + חיתוכים + קיצון + תחומי עלייה/ירידה נותנים את הגרף.
