נדב כץלמידה ברמה אחרת
מתמטיקה · י׳ · 5 יח״ל 5 יחידות
חקירת רציונלית ושורש · תרגול מדורג

תרגול חקירת רציונלית ושורש

כל מה שלמדנו על חקירת פונקציה רציונלית או פונקציית שורש - תחום ההגדרה (מכנה שונה מ-0, או ביטוי תחת שורש אי-שלילי), אסימפטוטה אנכית היכן שהמכנה מתאפס, אסימפטוטה אופקית לפי השוואת מעלות המונה והמכנה, ואז נגזרת → איפוס f'(x) → סיווג קיצון ותחומי עלייה וירידה - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מחישוב ישיר ועד חקירה מלאה ואיתור טעות בסגנון בגרות של 5 יח״ל. זכרו את הסדר: קודם תחום ואסימפטוטות, ורק אז נגזרת וקיצון.

מעבדת החקירה - בחרו את התשובה בחרו בכל שורה את הערך הנכון - מצאו תחום או אסימפטוטה, או גזרו ואפסו את f' והציבו לקבל ערך קיצון

בכל שורה בחרו את הערך הנכון. זכרו את הסדר: לתחום - מכנה שונה מ-0 או ביטוי תחת שורש אי-שלילי; אסימפטוטה אנכית היכן שהמכנה מתאפס; ולקיצון גוזרים, מאפסים את f'(x) ומציבים חזרה בתוך f. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". תחום · אסימפטוטות · גוזרים ומאפסים את f'

מה קורה לגרף כשמתקרבים לקו שאסור לחצות? קחו את f(x) = 1/x: ככל ש-x מתקרב ל-0 הערך מתפוצץ אל האינסוף - הגרף נצמד לציר ה-y אך לעולם לא נוגע בו. זו אסימפטוטה אנכית. בפונקציית שורש כמו x - 2 יש קיר אחר: מתחת ל-x = 2 אין ערך כלל - התחום הוא x ≥ 2. שלבי החקירה כאן בקצרה, ואחר כך לתרגול המדורג. זכרו: קודם תחום ואסימפטוטות, ורק אז נגזרת, קיצון ועלייה/ירידה.

מבט מקרוב

האנטומיה של חקירת רציונלית ושורש - תזכורת

נזכר שוב בסדר הקבוע: קודם תחום (מכנה ≠ 0, או ביטוי תחת שורש ≥ 0), אחר כך אסימפטוטות, ואז נגזרת → קיצון → עלייה/ירידה. הנה המפה המלאה על הדוגמה f(x) = x + 1/x - אותה תמונה תלווה אתכם בכל שאלה בתרגול.

שלבי החקירה - על f(x) = x + 1/x
y x x = 0 מינימום (1, 2) מקסימום (-1, -2) עולה עולה
תזכורת לפני התרגול

שש כרטיסיות תזכורת

שישה מושגים שנותנים שליטה מלאה בחקירת פונקציה רציונלית או פונקציית שורש, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד של 5 יח״ל: מתחום ואסימפטוטות, דרך הנגזרת ואיפוס f', ועד קיצון ותחומי עלייה וירידה. ואז לתרגול המדורג.

1

תחום הגדרה

בפונקציה רציונלית התחום הוא כל x שאינו מאפס את המכנה. בפונקציית שורש הביטוי תחת השורש חייב להיות אי-שלילי. למשל תחום x - 2 הוא x ≥ 2, ותחום 1/x הוא כל x ≠ 0.

2

אסימפטוטה אנכית

ערך x שמאפס את המכנה (ולא את המונה) נותן אסימפטוטה אנכית - קו שהגרף נצמד אליו בלי לגעת. ב-f(x) = 1/x המכנה מתאפס ב-x = 0, ולכן x = 0 אסימפטוטה אנכית.

3

אסימפטוטה אופקית

כאשר x שואף לאינסוף, משווים את מעלות המונה והמכנה. אם מעלת המכנה גדולה יותר, הפונקציה שואפת ל-0 ולכן y = 0 אסימפטוטה אופקית. ב-1/x אכן y = 0.

4

הנגזרת

גוזרים לפי חוק החזקה גם לחזקות שליליות: (1/x)' = (x⁻¹)' = -x⁻² = -1/x², ולכן (x + 1/x)' = 1 - 1/x². אותו חוק עובד גם לשורש: (x)' = 1/(2x).

5

נקודות קיצון

מאפסים את הנגזרת בתוך התחום. ב-f'(x) = 1 - 1/x² = 0 מקבלים x² = 1, כלומר x = ±1. בודקים שינוי סימן: x = 1 מינימום, x = -1 מקסימום.

6

עלייה, ירידה וסקיצה

היכן ש-f'(x) > 0 עולה, והיכן ש-f'(x) < 0 יורדת - תוך כיבוד התחום והאסימפטוטות. ב-x + 1/x יש מינימום (1, 2) ומקסימום (-1, -2), והגרף אינו חוצה את הקטע -2 < y < 2.

רציונלית · 1/x
רציונלית 1/x - אסימפטוטות x=0, y=0, יורדת
שורש · x-2
שורש x-2 - תחום x≥2, מוגדרת רק מימין
נפתור יחד

דוגמאות פתורות

שלוש חקירות מלאות, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 5 יח״ל. הסדר קבוע וחוזר על עצמו: תחום, אסימפטוטות, נגזרת, קיצון, עלייה וירידה. אותה שיטה תעבוד בתרגול.

דוגמה 1f(x) = 1/x
  1. תחום: המכנה מתאפס ב-x = 0, ולכן התחום הוא כל x ≠ 0.
  2. אסימפטוטות: המכנה מתאפס ב-x = 0 ← אסימפטוטה אנכית x = 0. מעלת המכנה גדולה ממעלת המונה ← אסימפטוטה אופקית y = 0.
  3. נגזרת: f'(x) = (x⁻¹)' = -x⁻² = -1/x². שלילי לכל x ≠ 0, ולכן אין נקודות קיצון.
  4. אסימפטוטות x = 0 ו-y = 0; הפונקציה יורדת בכל תחומה (בכל אחד משני הענפים).
דוגמה 2f(x) = x + 1/x
  1. תחום ואסימפטוטה: המכנה מתאפס ב-x = 0 ← התחום x ≠ 0 ואסימפטוטה אנכית x = 0.
  2. נגזרת ואיפוסה: f'(x) = 1 - 1/x². פותרים 1 - 1/x² = 0 → x² = 1 → x = ±1.
  3. שינוי סימן והצבה: ב-x = 1 הנגזרת עוברת מ-- ל-+ (מינימום), f(1) = 1 + 1 = 2; ב-x = -1 מ-+ ל-- (מקסימום), f(-1) = -1 - 1 = -2.
  4. מינימום ב-(1, 2), מקסימום ב-(-1, -2); עולה עבור x < -1 ועבור x > 1, יורדת עבור -1 < x < 0 ועבור 0 < x < 1.
דוגמה 3f(x) = x - 2
  1. תחום: הביטוי תחת השורש חייב להיות אי-שלילי: x - 2 ≥ 0, כלומר התחום הוא x ≥ 2.
  2. חיתוך והתחלה: ב-x = 2 מתקבל f(2) = 0 - נקודת ההתחלה של הגרף על ציר x, בנקודה (2, 0).
  3. נגזרת: f'(x) = 1/(2x - 2), חיובית לכל x > 2, ולכן אין קיצון.
  4. תחום x ≥ 2; מתחילה ב-(2, 0) ועולה לכל x > 2 (אין אסימפטוטות ואין קיצון).
תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול מדורג - חקירת רציונלית ושורש

ניקוד: 0 / 0

ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: תחום, אסימפטוטה ונגזרת ישירה; חקירה רב-שלבית; סיווג קיצון ותחומי עלייה וירידה; ועד חקירה מלאה ואיתור טעות ברמת בגרות. כל השאלות מבוססות על שלבי החקירה של כיתה י׳ 5 יח״ל, והתשובות יוצאות נקיות. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר החקירה" שמוצאת תחום, אסימפטוטות, נגזרת וקיצון של פונקציה רציונלית או שורש. בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

0%
שליטה
0חדש
0בלימוד
0בחזרה
0שולט

הנקודות שכדאי לזכור

  • 1תחום: רציונלית - מכנה ≠ 0; שורש - הביטוי תחת השורש ≥ 0 (למשל x-2: x ≥ 2).
  • 2אסימפטוטה אנכית: ערך שמאפס את המכנה - כמו x = 0 ב-1/x.
  • 3אסימפטוטה אופקית: מעלת המכנה גדולה יותר ← y = 0.
  • 4נגזרת וקיצון: מאפסים את f'(x) בתוך התחום; -→+ מינימום, +→- מקסימום.
  • 5סקיצה: תחום + אסימפטוטות + קיצון + תחומי עלייה/ירידה נותנים את הגרף - למשל (1, 2) ו-(-1, -2) ב-x + 1/x.
מפתח פתרונות (תרגול)

    רציונלית ושורש. תחום ההגדרה קובע כאן הכול, כולל היכן בכלל יש אסימפטוטה.

    תצוגת דף עבודה כל השאלות פתוחות, בלי מענה אינטראקטיבי