נדב כץלמידה ברמה אחרת
מתמטיקה · י׳ · 5 יח״ל 5 יחידות
חקירת פונקציה רציונלית ושורש

לחקור רציונלית ושורש - תחום, אסימפטוטות וקיצון

בפונקציה רציונלית או פונקציית שורש החקירה מתחילה עוד לפני הנגזרת: קודם מוצאים את תחום ההגדרה ואת האסימפטוטות. בפונקציה רציונלית מכנה שמתאפס נותן אסימפטוטה אנכית, והשוואת מעלות המונה והמכנה נותנת אסימפטוטה אופקית. אחר כך גוזרים, מאפסים את f'(x), ובודקים שינוי סימן כדי לקבוע קיצון ותחומי עלייה וירידה. הזיזו את הפרמטרים במעבדה וראו איך התחום, האסימפטוטות והקיצון זזים יחד.

מעבדת החקירה בחרו משפחת פונקציה, שנו את הפרמטר וצפו בתחום, באסימפטוטות ובקיצון
f(x) = x + 1/x
f'(x) = 1 - 1/x² תחום - אסימפטוטות - קיצון -
משפחת הפונקציהx + k/x
פרמטר k1

מה קורה לגרף כשמתקרבים לקו שאסור לחצות? קחו את f(x) = 1/x. ככל ש-x מתקרב ל-0 הערך מתפוצץ אל האינסוף - הגרף נצמד לציר ה-y אך לעולם לא נוגע בו. זו אסימפטוטה אנכית x = 0. וככל ש-x גדל מאוד, הערך שואף ל-0 - הגרף נצמד לציר ה-x. זו אסימפטוטה אופקית y = 0. בפונקציית שורש כמו x − 2 יש קיר אחר לגמרי: מתחת ל-x = 2 אין בכלל ערך - התחום הוא x ≥ 2. בדף הזה נלמד לזהות את הקירות האלה, ואז לחקור עלייה, ירידה וקיצון.

מבט מקרוב

האנטומיה של חקירת רציונלית ושורש

בחקירת פונקציה רציונלית או שורש הסדר קבוע: קודם תחום (מכנה ≠ 0, או ביטוי תחת שורש ≥ 0), אחר כך אסימפטוטות, ואז נגזרת → קיצון → עלייה/ירידה. הנה המפה המלאה על הדוגמה f(x) = x + 1/x, שהנגזרת שלה היא f'(x) = 1 − 1/x²:

שלבי החקירה - על f(x) = x + 1/x
y x x = 0 מינימום (1, 2) מקסימום (-1, -2) עולה עולה
נכיר צעד אחר צעד

מה מרכיב חקירת רציונלית ושורש

שישה מושגים שנותנים שליטה מלאה בחקירת פונקציה רציונלית או פונקציית שורש, בדיוק כפי שהם נדרשים ב-5 יח״ל. שנו במעבדה שלמעלה את משפחת הפונקציה ואת הפרמטר תוך כדי קריאה, וצפו איך התחום, האסימפטוטות והקיצון מגיבים.

1

תחום הגדרה

בפונקציה רציונלית התחום הוא כל x שאינו מאפס את המכנה. בפונקציית שורש הביטוי תחת השורש חייב להיות אי-שלילי. למשל תחום x − 2 הוא x ≥ 2, ותחום 1/x הוא כל x ≠ 0.

2

אסימפטוטה אנכית

בפונקציה רציונלית, ערך x שמאפס את המכנה (ולא את המונה) נותן אסימפטוטה אנכית - קו שהגרף נצמד אליו בלי לגעת. ב-f(x) = 1/x המכנה מתאפס ב-x = 0, ולכן x = 0 אסימפטוטה אנכית.

3

אסימפטוטה אופקית

כאשר x שואף לאינסוף, משווים את מעלות המונה והמכנה. אם מעלת המכנה גדולה יותר, הפונקציה שואפת ל-0 ולכן y = 0 אסימפטוטה אופקית. ב-1/x אכן y = 0.

4

הנגזרת של רציונלית

גוזרים לפי חוק החזקה גם עבור חזקות שליליות: (1/x)' = (x⁻¹)' = −x⁻² = −1/x². לכן (x + 1/x)' = 1 − 1/x². אותו חוק עובד גם לשורש: (x)' = 1/(2x).

5

נקודות קיצון

מאפסים את הנגזרת בתוך התחום. ב-f'(x) = 1 − 1/x² = 0 מקבלים x² = 1, כלומר x = ±1. בודקים שינוי סימן: x = 1 מינימום, x = −1 מקסימום.

6

עלייה, ירידה וסקיצה

היכן ש-f'(x) > 0 עולה, והיכן ש-f'(x) < 0 יורדת - תוך כיבוד התחום והאסימפטוטות. ב-x + 1/x יש מינימום (1, 2) ומקסימום (−1, −2), והגרף אף פעם אינו חוצה את הקטע −2 < y < 2.

רציונלית · 1/x
רציונלית 1/x - אסימפטוטות x=0, y=0, יורדת
שורש · x−2
שורש x−2 - תחום x≥2, מוגדרת רק מימין
נפתור יחד

דוגמאות פתורות

שלוש חקירות מלאות, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 5 יח״ל. שימו לב לסדר הקבוע - תחום, אסימפטוטות, נגזרת, קיצון, עלייה וירידה.

דוגמה 1f(x) = 1/x
  1. תחום: המכנה מתאפס ב-x = 0, ולכן התחום הוא כל x ≠ 0.
  2. אסימפטוטות: המכנה מתאפס ב-x = 0 ← אסימפטוטה אנכית x = 0. מעלת המכנה גדולה ממעלת המונה ← אסימפטוטה אופקית y = 0.
  3. נגזרת: f'(x) = (x⁻¹)' = −x⁻² = −1/x². זה שלילי לכל x ≠ 0, ולכן אין נקודות קיצון.
  4. אסימפטוטות x = 0 ו-y = 0; הפונקציה יורדת בכל תחומה (בכל אחד משני הענפים).
דוגמה 2f(x) = x + 1/x
  1. תחום ואסימפטוטה: המכנה מתאפס ב-x = 0 ← התחום x ≠ 0 ואסימפטוטה אנכית x = 0.
  2. נגזרת ואיפוסה: f'(x) = 1 − 1/x². פותרים 1 − 1/x² = 0 → x² = 1 → x = ±1.
  3. שינוי סימן והצבה: ב-x = 1 הנגזרת עוברת מ-− ל-+ (מינימום), f(1) = 1 + 1 = 2; ב-x = −1 מ-+ ל-− (מקסימום), f(−1) = −1 − 1 = −2.
  4. מינימום ב-(1, 2), מקסימום ב-(−1, −2); עולה עבור x < −1 ועבור x > 1, יורדת עבור −1 < x < 0 ועבור 0 < x < 1.
דוגמה 3f(x) = x − 2
  1. תחום: הביטוי תחת השורש חייב להיות אי-שלילי: x − 2 ≥ 0, כלומר התחום הוא x ≥ 2.
  2. חיתוך והתחלה: ב-x = 2 מתקבל f(2) = 0 - נקודת ההתחלה של הגרף על ציר x, בנקודה (2, 0).
  3. נגזרת: f'(x) = 1/(2x − 2), שהיא חיובית לכל x > 2, ולכן אין קיצון.
  4. תחום x ≥ 2; מתחילה ב-(2, 0) ועולה לכל x > 2 (אין אסימפטוטות ואין קיצון).
תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול אינטראקטיבי

ניקוד: 0 / 0

תרגול מקיף בשלוש רמות: יסוד (תחום, אסימפטוטה, נגזרת ישירה), יישום (חקירה רב-שלבית), ורמת בגרות (חקירה מלאה עם נימוק). פתרו סט, ועברו לסט הבא עם החצים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר החקירה".

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

0%
שליטה
0חדש
0בלימוד
0בחזרה
0שולט

הנקודות שכדאי לזכור

  • 1תחום: רציונלית - מכנה ≠ 0; שורש - הביטוי תחת השורש ≥ 0 (למשל x−2: x ≥ 2).
  • 2אסימפטוטה אנכית: ערך שמאפס את המכנה - כמו x = 0 ב-1/x.
  • 3אסימפטוטה אופקית: מעלת המכנה גדולה יותר ← y = 0.
  • 4נגזרת: חוק החזקה גם לחזקה שלילית: (1/x)' = −1/x², ולכן (x + 1/x)' = 1 − 1/x².
  • 5קיצון: −→+ מינימום, +→− מקסימום - למשל (1, 2) ו-(−1, −2) ב-x + 1/x.
מפתח פתרונות (תרגול)

    בחרו משפחה ושנו פרמטר. התחום, האסימפטוטות והקיצון זזים יחד בזמן אמת.

    תצוגת דף עבודה כל השאלות פתוחות, בלי מענה אינטראקטיבי