נדב כץלמידה ברמה אחרת
מתמטיקה · י׳ · 5 יח״ל 5 יחידות
פרופורציה ודמיון · משפט תאלס · תרגול מדורג

תרגול דמיון ותאלס

כל מה שלמדנו על דמיון ופרופורציה - משפט תאלס (ישר מקביל לצלע חותך את השתיים האחרות ביחס שווה AD/DB = AE/EC), שלושת משפטי הדמיון (ז.ז, צ.ז.צ ביחס, צ.צ.צ ביחס), יחס הדמיון k, ולצידו יחס ההיקפים k ויחס השטחים k² - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מפרופורציה וצלע מתאימה ועד הוכחת דמיון ואיתור טעות ברמת בגרות. זכרו את השיטה: מזהים מקביל או דמיון, כותבים את הפרופורציה, ומחלצים - ולשטח מעלים את היחס בריבוע.

מעבדת הדמיון - בחרו את התשובה בכל שורה בחרו את היחס או האורך הנכון - קטע פרופורציונלי (תאלס), צלע מתאימה, יחס היקפים או יחס שטחים

בכל שורה בחרו את התשובה הנכונה. זכרו: ישר מקביל לצלע נותן פרופורציה AD/DB = AE/EC (תאלס), צלע מתאימה = צלע · k, יחס ההיקפים = k, יחס השטחים = k², ומיחס שטחים k = השורש של היחס. ישר מקביל יוצר משולש דומה, ואז DE = k · BC. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". קודם מבססים דמיון ומוצאים את k · ואז מחשבים אורך, היקף או שטח

אותה צורה, גודל אחר. ישר המקביל לצלע של משולש חותך את שתי הצלעות האחרות באותו יחס - זהו משפט תאלס, והוא גם יוצר משולש קטן דומה למקורי. בשני משולשים דומים כל הזוויות המתאימות שוות וכל הצלעות המתאימות עומדות ביחס הדמיון k. מכאן ההיקף גדל פי k, אבל השטח - שתלוי בשתי מידות - גדל פי k². נזכיר כאן את תאלס, את משפטי הדמיון ואת יחסי האורך, ההיקף והשטח, ומשם לתרגול. זכרו: קודם מבססים דמיון (ז.ז / צ.ז.צ / צ.צ.צ) או כותבים פרופורציה, ורק אז נשענים על k.

מבט מקרוב

האנטומיה של תאלס - תזכורת

נזכר שוב: במשולש ABC ישר המקביל לצלע BC חותך את AB בנקודה D ואת AC בנקודה E, ולפי משפט תאלס הוא חותך את שתי הצלעות באותו יחס: AD/DB = AE/EC. הישר יוצר משולש ADE הדומה ל-ABC (הזווית ב-A משותפת, וזוויות מתאימות בין מקבילים שוות). הנה המפה על דוגמה - AD = 4, DB = 2, AE = 6 ⟸ EC = 3.

משפט תאלס - ישר מקביל ל-BC חותך את הצלעות ביחס שווה, AD/DB = AE/EC
A B C D E AD = 4 DB = 2 AE = 6 EC = 3 AD/DB = 4/2 = 2 = 6/3 = AE/EC ✓
תזכורת לפני התרגול

שש כרטיסיות תזכורת

שישה מושגים מדמיון המשולשים ומשפט תאלס של כיתה י׳ (5 יח״ל), בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: ממשפט תאלס, דרך משפטי הדמיון ויחס הדמיון k, ועד יחסי ההיקף והשטח. ואז לתרגול המדורג.

1

משפט תאלס

ישר המקביל לצלע אחת של משולש וחותך את שתי הצלעות האחרות - מחלק אותן באותו יחס. במשולש ABC עם DE ∥ BC מתקיים AD/DB = AE/EC, וגם AD/AB = AE/AC.

2

משפטי הדמיון

מספיק לבדוק חלק מהנתונים כדי לקבוע דמיון: ז.ז (שתי זוויות שוות), צ.ז.צ ביחס (שתי צלעות ביחס והזווית הכלואה שביניהן שווה), ו-צ.צ.צ ביחס (שלוש הצלעות באותו יחס).

3

הישר המקביל יוצר דמיון

הישר DE ∥ BC יוצר משולש ADE הדומה ל-ABC: הזווית ב-A משותפת והזוויות המתאימות שוות (מקבילים), ולכן לפי ז.ז יש דמיון. זהו הכלי לחישוב קטעים: DE = k · BC.

4

יחס הדמיון k - צלעות

היחס הקבוע בין כל שתי צלעות מתאימות הוא k. צלע מתאימה מתקבלת בהכפלה: אם k = 32, לצלע 4 מתאימה 4 · 32 = 6.

5

יחס ההיקפים = k

ההיקף הוא סכום הצלעות, וכל צלע גדלה פי k, לכן ההיקף גם גדל פי k. אם היחס הוא 2 : 3 אז יחס ההיקפים הוא בדיוק 2 : 3 - זהה ליחס הצלעות.

6

יחס השטחים = k²

שטח תלוי במכפלה של שתי מידות, לכן הוא גדל פי k². לדוגמה, ביחס דמיון 3 יחס השטחים הוא 3² = 9. זו הטעות הנפוצה ביותר - זכרו: היקף k, שטח k².

kהיקף × k
היקף : × k
יחס צלעות k ← יחס היקפים גם k
שטחשטח × k²
שטח : × k²
יחס צלעות k ← יחס שטחים k²
נפתור יחד

דוגמאות פתורות

שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד. השיטה קבועה: מזהים ישר מקביל או דמיון, כותבים את הפרופורציה, ומחלצים את הנעלם - וכשמדובר בשטח מעלים את היחס בריבוע. אותה שיטה תעבוד בתרגול.

דוגמה 1DE ∥ BC · AD = 4 · DB = 2 · AE = 6
  1. זיהוי: הישר DE מקביל לצלע BC במשולש ABC, לכן לפי משפט תאלס הוא חותך את הצלעות ביחס שווה: AD/DB = AE/EC.
  2. הצבת הנתונים: 42 = 6/EC, כלומר 2 = 6/EC.
  3. חילוץ: EC = 62 = 3.
  4. אורך הקטע EC = 3. (בדיקה: 42 = 2 וגם 63 = 2 ✓)
דוגמה 2משולשים דומים ביחס 2 : 3 · צלע 4
  1. יחס הדמיון: המשולשים דומים ביחס 2 : 3, כלומר k = 32 (מהקטן לגדול). לצלע במשולש הקטן מתאימה צלע פי k בגדול.
  2. הצבה: לצלע 4 מתאימה 4 · 32.
  3. חישוב: 4 · 32 = 122 = 6.
  4. הצלע המתאימה במשולש הגדול היא 6. יחס ההיקפים 32 ויחס השטחים (32)² = 94.
דוגמה 3יחס דמיון 3 · שטח המשולש הקטן 12
  1. יחס השטחים: ביחס דמיון k = 3 יחס השטחים הוא k² = 3² = 9.
  2. הצבה: שטח המשולש הגדול = 9 · (שטח הקטן) = 9 · 12.
  3. חישוב: 9 · 12 = 108.
  4. שטח המשולש הגדול = 108. שימו לב: הצלעות גדלו פי 3, אך השטח פי 9.
תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול מדורג - דמיון ותאלס

ניקוד: 0 / 0

ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: פרופורציה ישירה של תאלס וצלע מתאימה; קטעים, היקף ושטח; היקף מול שטח, קטע פרופורציונלי ו-k משבר; ועד ניתוח רב-שלבי, הוכחת דמיון ואיתור טעות ברמת בגרות. כל השאלות מבוססות על המשפטים של כיתה י׳ 5 יח״ל, והתשובות יוצאות נקיות. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר תאלס ודמיון" שמשלימה את הפרופורציה AD/DB = AE/EC ומחשבת יחס היקפים, יחס שטחים וצלע מתאימה מיחס דמיון נתון. בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

0%
שליטה
0חדש
0בלימוד
0בחזרה
0שולט

הנקודות שכדאי לזכור

  • 1משפט תאלס: ישר מקביל לצלע חותך את שתי האחרות ביחס שווה: AD/DB = AE/EC.
  • 2משפטי דמיון: ז.ז, צ.ז.צ ביחס (זווית כלואה), צ.צ.צ ביחס.
  • 3צלעות: ביחס דמיון k כל זוג צלעות מתאימות ביחס k; צלע מתאימה = צלע · k.
  • 4היקפים: יחס ההיקפים = k (זהה ליחס הצלעות).
  • 5שטחים: יחס השטחים = k² (ומיחס שטחים k = היחס) - הטעות הנפוצה: זכרו את הריבוע.
תאלס, משפטי הדמיון והיחסים במבט אחד
הכללמה אומרדוגמה
תאלס (פרופורציה)ישר מקביל חותך את הצלעות ביחס שווהAD/DB = AE/EC
ז.זשתי זוויות שוות ⟵ דמיון∠,∠ → ∼
צ.ז.צ ביחסשתי צלעות ביחס + הזווית הכלואה שווהa:a' = b:b'
צ.צ.צ ביחסשלוש הצלעות באותו יחס ka:a' = b:b' = c:c'
צלע מתאימהצלע · k4 · 32 = 6
יחס היקפיםשווה ל-kk = 3 → 3
יחס שטחיםשווה ל-k²k = 3 → 9
ישר מקביל (תאלס)יוצר משולש דומה, DE = k · BC35 · 10 = 6
מפתח פתרונות (תרגול)

    היי! זה דף תרגול. גללו לתזכורת קצרה על תאלס ודמיון, ואז לתרגול המדורג. אני כאן עם טיפ בכל שלב.

    תצוגת דף עבודה כל השאלות פתוחות, בלי מענה אינטראקטיבי