נדב כץלמידה ברמה אחרת
מתמטיקה · י׳ · 5 יח״ל 5 יחידות
פרופורציה ודמיון

דמיון משולשים ומשפט תאלס

כשישר מקביל לצלע של משולש חותך את שתי הצלעות האחרות, הוא מחלק אותן באותו יחס - זהו משפט תאלס: AD/DB = AE/EC. שני משולשים דומים אם זוויותיהם שוות, ואז כל הצלעות המתאימות ביחס קבוע k. היחס בין ההיקפים הוא k, אך היחס בין השטחים הוא k². הזיזו את הישר המקביל במעבדה וראו את הפרופורציה נשמרת.

מעבדת הדמיון גררו את הישר המקביל ל-BC וראו את היחס AD/DB = AE/EC
DE ∥ BC
AD/DB 2.00 AE/EC 2.00 יחס דמיון k 1.50 שטח k² 2.25
מיקום הישר DE (חלק מ-AB)0.60

איך מדדו את גובה הפירמידה בלי לטפס עליה? לפי המסורת, תאלס המילטוסי מדד את צל הפירמידה ואת צל מַקֵּל שנעץ באדמה. שני המשולשים - זה של הפירמידה עם צילה וזה של המקל עם צילו - דומים, כי קרני השמש מקבילות והזוויות שוות. לכן היחס בין הגובה לצל זהה בשניהם: גובה/צל קבוע. אם המקל בגובה 1 מטר הטיל צל של 2 מטר, וצל הפירמידה היה 140 מטר, אז גובהה 70 מטר. זו כל המהות של דמיון: אותה צורה, קנה מידה שונה, ויחסים שנשמרים.

מבט מקרוב

האנטומיה של משפט תאלס

במשולש ABC, ישר המקביל לצלע BC חותך את AB בנקודה D ואת AC בנקודה E. משפט תאלס קובע שהישר חותך את שתי הצלעות באותו יחס: AD/DB = AE/EC. הנה המפה המלאה על הדוגמה AD/DB = AE/EC, עם AD = 4, DB = 2, AE = 6 ⟸ EC = 3:

משפט תאלס - ישר מקביל ל-BC חותך את הצלעות ביחס שווה
A B C D E AD = 4 DB = 2 AE = 6 EC = 3 AD/DB = 4/2 = 2 = 6/3 = AE/EC ✓
נכיר צעד אחר צעד

מה מרכיב דמיון משולשים

שישה מושגים שנותנים שליטה מלאה בדמיון ובפרופורציה, בדיוק כפי שהם נדרשים ב-5 יח״ל. נסו לגרור את הישר המקביל במעבדה שלמעלה תוך כדי קריאה, וצפו איך היחס AD/DB נשאר שווה ל-AE/EC בכל מיקום.

1

משפט תאלס

ישר המקביל לצלע אחת של משולש וחותך את שתי הצלעות האחרות - מחלק אותן באותו יחס. במשולש ABC עם DE ∥ BC מתקיים AD/DB = AE/EC. זה גם היחס AD/AB = AE/AC.

2

הגדרת דמיון

שני משולשים דומים אם הזוויות המתאימות שוות והצלעות המתאימות ביחס קבוע. הישר DE ∥ BC יוצר משולש ADE הדומה ל-ABC, כי הזווית ב-A משותפת והזוויות המתאימות שוות (מקבילים).

3

משפטי הדמיון

מספיק לבדוק חלק מהנתונים כדי לקבוע דמיון: ז.ז (שתי זוויות שוות), צ.ז.צ ביחס (שתי צלעות ביחס והזווית שביניהן שווה), ו-צ.צ.צ ביחס (שלוש הצלעות באותו יחס).

4

יחס הדמיון k - צלעות

אם היחס בין משולשים דומים הוא k, אז כל זוג צלעות מתאימות ביחס k. לדוגמה, משולשים דומים ביחס 2 : 3: לצלע 4 במשולש הראשון מתאימה צלע 4 · (32) = 6 בשני.

5

יחס ההיקפים = k

ההיקף הוא סכום הצלעות, וכל צלע גדלה פי k, לכן ההיקף גם הוא גדל פי k. אם היחס הוא 2 : 3 אז יחס ההיקפים הוא בדיוק 2 : 3 - זהה ליחס הצלעות.

6

יחס השטחים = k²

שטח תלוי במכפלה של שני מימדים, לכן הוא גדל פי k². לדוגמה, ביחס דמיון 3 יחס השטחים הוא 3² = 9. זו הטעות הנפוצה ביותר - לזכור: היקף k, שטח k².

kהיקף × k
היקף : × k
יחס צלעות k ← יחס היקפים גם k
שטחשטח × k²
שטח : × k²
יחס צלעות k ← יחס שטחים k²
נפתור יחד

דוגמאות פתורות

שלוש בעיות מלאות, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 5 יח״ל. שימו לב לשיטה: מזהים משולשים דומים או ישר מקביל, כותבים את הפרופורציה, ומחלצים את הנעלם - כשלגבי שטח מעלים את היחס בריבוע.

דוגמה 1DE ∥ BC · AD = 4 · DB = 2 · AE = 6
  1. זיהוי: הישר DE מקביל לצלע BC במשולש ABC, לכן לפי משפט תאלס הוא חותך את הצלעות ביחס שווה: AD/DB = AE/EC.
  2. הצבת הנתונים: 42 = 6/EC, כלומר 2 = 6/EC.
  3. חילוץ: EC = 62 = 3.
  4. אורך הקטע EC = 3. (בדיקה: 42 = 2 וגם 63 = 2 ✓)
דוגמה 2משולשים דומים ביחס 2 : 3 · צלע 4
  1. יחס הדמיון: המשולשים דומים ביחס k = 32 (מהקטן לגדול). לצלע במשולש הקטן מתאימה צלע פי k במשולש הגדול.
  2. הצבה: לצלע 4 מתאימה צלע 4 · (32).
  3. חישוב: 4 · 32 = 122 = 6.
  4. הצלע המתאימה במשולש הגדול היא 6.
דוגמה 3יחס דמיון 3 · שטח המשולש הקטן 12
  1. יחס השטחים: ביחס דמיון k = 3 יחס השטחים הוא k² = 3² = 9.
  2. הצבה: שטח המשולש הגדול = 9 · (שטח הקטן) = 9 · 12.
  3. חישוב: 9 · 12 = 108.
  4. שטח המשולש הגדול = 108. שימו לב: הצלעות גדלו פי 3, אך השטח פי 9.
תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול אינטראקטיבי

ניקוד: 0 / 0

תרגול מקיף בשלוש רמות: יסוד (פרופורציה וחישוב יחס ישיר), יישום (בעיה רב-שלבית ומשפט דמיון), ורמת בגרות (הוכחת דמיון והיסק על היקף ושטח). פתרו סט, ועברו לסט הבא עם החצים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר תאלס ודמיון".

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

0%
שליטה
0חדש
0בלימוד
0בחזרה
0שולט

הנקודות שכדאי לזכור

  • 1משפט תאלס: ישר מקביל לצלע חותך את שתי האחרות ביחס שווה: AD/DB = AE/EC.
  • 2משפטי דמיון: ז.ז, צ.ז.צ ביחס, צ.צ.צ ביחס.
  • 3צלעות: ביחס דמיון k כל זוג צלעות מתאימות ביחס k.
  • 4היקפים: יחס ההיקפים = k (זהה ליחס הצלעות).
  • 5שטחים: יחס השטחים = k² - הטעות הנפוצה: זכרו את הריבוע.
מפתח פתרונות (תרגול)

    היי! גללו במורד הדף ואני אלווה אתכם עם טיפ בכל שלב - מהפרופורציה ועד יחס השטחים k².

    תצוגת דף עבודה כל השאלות פתוחות, בלי מענה אינטראקטיבי