נדב כץלמידה ברמה אחרת
מתמטיקה · י׳ · 5 יח״ל 5 יחידות
פונקציות מיוחדות · תרגול מדורג

תרגול הפונקציות המיוחדות

כל משפחת הפונקציות הבסיסיות שלמדנו - הערך המוחלט |x|, השורש x, החזקות x² ו-x³, וההופכיות 1/x ו-1/x² - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מהצבה ישירה ותחום הגדרה ועד אפיון מלא ואיתור טעות ברמת בגרות. זכרו את השיטה: קובעים תחום הגדרה, בודקים סימטריה עם f(-x), ומזהים אסימפטוטות מהתנהגות הגרף בקצוות.

מעבדת הפונקציות - בחרו את הערך הנכון בחרו בכל שורה את הערך הנכון - הציבו את המספר בפונקציה, זכרו מאילו x היא מוגדרת, ושאלו היכן המכנה מתאפס

בכל שורה בחרו את הערך הנכון. השיטה קבועה: להצבה מחליפים את x במספר ומחשבים, לתחום נזכרים מאילו x הפונקציה מוגדרת, ולאסימפטוטה שואלים היכן המכנה מתאפס או לאן הגרף מתיישר. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". מציבים · בודקים תחום · מזהים אסימפטוטה

מה קורה לגרף כשמתקרבים לקצה שאסור לו להגיע אליו? קחו את 1/x: ככל ש-x קטן ומתקרב ל-0, המנה 1/x גדלה בלי גבול - הגרף מטפס לאינסוף לצד קו דמיוני, x = 0, בלי לגעת בו לעולם. וככל ש-x גדל מאוד, 1/x מתקרב ל-0 ומתיישר לאורך הציר y = 0. הקווים האלה הם האסימפטוטות. נזכיר כאן איך מזהים בכל פונקציה מיוחדת את תחום ההגדרה, את הסימטריה ואת האסימפטוטות, ואיך מציבים בה מספר, ומשם לתרגול המדורג.

מבט מקרוב

האנטומיה של פונקציה מיוחדת - תזכורת

נזכיר את שלושת הנתונים הקבועים של כל פונקציה מיוחדת: תחום ההגדרה (אילו x מותרים), הסימטריה (זוגית - סימטרית לציר y; אי-זוגית - סימטרית לראשית), והאסימפטוטות (קווים שהגרף מתקרב אליהם בקצוות). הנה המפה המלאה על ההופכית f(x) = 1/x - אותה תמונה תלווה אתכם בכל שאלה בתרגול.

שלוש התכונות - על f(x) = 1/x
y x אסימפטוטה אנכית x = 0 אסימפטוטה אופקית y = 0 סימטריה לראשית תחום x ≠ 0
תזכורת לפני התרגול

שש כרטיסיות תזכורת

שש הפונקציות המיוחדות של 5 יח״ל, בדיוק כפי שהן מופיעות בדף הלימוד: החזקה הזוגית והחזקה האי-זוגית, הערך המוחלט, השורש, וההופכיות. לכל אחת תחום, סימטריה ואסימפטוטות משלה. ואז לתרגול המדורג.

1

חזקה זוגית xⁿ

כאשר n זוגי (למשל x², x⁴) הפונקציה זוגית: f(-x) = f(x), הגרף סימטרי לציר y, מוגדר לכל x ויש לו מינימום ב-(0, 0). למשל (-3)² = 9.

2

חזקה אי-זוגית xⁿ

כאשר n אי-זוגי (למשל x³, x⁵) הפונקציה אי-זוגית: f(-x) = -f(x), הגרף סימטרי לראשית, מוגדר לכל x ועובר דרך (0, 0) בלי קיצון. למשל (-2)³ = -8.

3

ערך מוחלט |x|

|x| מוגדרת לכל x, זוגית (|-x| = |x|) וסימטרית לציר y. הגרף בצורת V עם מינימום ב-(0, 0), ואין לה אסימפטוטות. הערך לעולם אינו שלילי: |-5| = 5.

4

שורש x

תחום ההגדרה של x הוא x ≥ 0 בלבד, כי אי-אפשר להוציא שורש ממספר שלילי. הגרף מתחיל ב-(0, 0) ועולה לאט. הפונקציה אינה זוגית ואינה אי-זוגית, ואין לה אסימפטוטות. למשל 16 = 4.

5

ההופכית 1/x

1/x מוגדרת לכל x ≠ 0, אי-זוגית (1/(-x) = -1/x), סימטרית לראשית. יש לה אסימפטוטה אנכית x = 0 ואסימפטוטה אופקית y = 0. למשל 12 = 0.5.

6

ההופכית בריבוע 1/x²

1/x² מוגדרת לכל x ≠ 0, זוגית (1/(-x)² = 1/x²), סימטרית לציר y וחיובית תמיד. גם לה אסימפטוטה אנכית x = 0 ואסימפטוטה אופקית y = 0. למשל 12² = 0.25.

1/x
1/x - אי-זוגית, סימטרית לראשית
1/x²
1/x² - זוגית, סימטרית לציר y
נפתור יחד

דוגמאות פתורות

שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 5 יח״ל: אפיון של 1/x, x ו-|x|, כולל הצבה ישירה. השיטה חוזרת: תחום הגדרה, סימטריה עם f(-x), אסימפטוטות, והצבה. אותה שיטה תעבוד בתרגול.

דוגמה 1f(x) = 1/x
  1. תחום הגדרה: המכנה x אסור להתאפס, לכן התחום הוא x ≠ 0 (כל הישר פרט לאפס).
  2. סימטריה: מציבים f(-x) = 1/(-x) = -1/x = -f(x), אז הפונקציה אי-זוגית וסימטרית לראשית.
  3. אסימפטוטות: כאשר x → 0 הערך שואף לאינסוף - אסימפטוטה אנכית x = 0; כאשר x → ∞ הערך שואף ל-0 - אסימפטוטה אופקית y = 0.
  4. הצבה: f(2) = 12 = 0.5.
  5. תחום x ≠ 0; אי-זוגית; אסימפטוטה אנכית x = 0 ואופקית y = 0; f(2) = 0.5.
דוגמה 2f(x) = x
  1. תחום הגדרה: אי-אפשר להוציא שורש ממספר שלילי, לכן חייב להתקיים x ≥ 0 - זה תחום ההגדרה.
  2. סימטריה: -x אינו מוגדר עבור x > 0, לכן הפונקציה אינה זוגית ואינה אי-זוגית.
  3. אסימפטוטות: הגרף מתחיל ב-(0, 0) ועולה לאט; אין קו שהוא מתקרב אליו - אין אסימפטוטות.
  4. הצבה: 16 = 4 (כי 4² = 16).
  5. תחום x ≥ 0; לא זוגית ולא אי-זוגית; אין אסימפטוטות; 16 = 4.
דוגמה 3f(x) = |x|
  1. תחום הגדרה: הערך המוחלט מוגדר לכל x - כל הישר.
  2. סימטריה: |-x| = |x| = f(x), לכן הפונקציה זוגית וסימטרית לציר y.
  3. אסימפטוטות ומינימום: הגרף בצורת V עם מינימום ב-(0, 0); רציף וגדל בקצוות, ולכן אין לו אסימפטוטות.
  4. הצבה: |-8| = 8 - הערך המוחלט מסלק את הסימן, והתוצאה לעולם אינה שלילית.
  5. תחום כל x; זוגית; מינימום ב-(0, 0); אין אסימפטוטות; |-8| = 8.
תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול מדורג - פונקציות מיוחדות

ניקוד: 0 / 0

ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: הצבה ישירה, תחום וסימטריה; הצבה בהופכית ובשורש עם סימטריה ואסימפטוטות; ספירת אסימפטוטות והצבות עם מספרים שליליים; ועד אפיון מלא ואיתור טעות ברמת בגרות. כל השאלות מבוססות על שש הפונקציות המיוחדות שנלמדו בכיתה י׳ 5 יח״ל, והתשובות יוצאות נקיות. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "מאפיין הפונקציה". בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

0%
שליטה
0חדש
0בלימוד
0בחזרה
0שולט

הנקודות שכדאי לזכור

  • 1תחום: x דורש x ≥ 0; 1/x ו-1/x² דורשים x ≠ 0; |x| ו-xⁿ לכל x.
  • 2זוגית: f(-x) = f(x) - סימטריה לציר y (x², |x|, 1/x²).
  • 3אי-זוגית: f(-x) = -f(x) - סימטריה לראשית (x³, 1/x).
  • 4אסימפטוטות: x = 0 ו-y = 0 ב-1/x וב-1/x²; ל-|x|, x, xⁿ אין.
  • 5הצבה: מחליפים את x במספר ומחשבים: |-5|=5, 16=4, 12=0.5.
מפתח פתרונות (תרגול)

    היי! זה דף תרגול. גללו לתזכורת קצרה, ואז לתרגול המדורג. אני כאן עם טיפ על כל פונקציה מיוחדת בדרך.

    תצוגת דף עבודה כל השאלות פתוחות, בלי מענה אינטראקטיבי