תרגול משוואות טריגונומטריות
כל מה שלמדנו על פתרון משוואה טריגונומטרית בתחום נתון - מזהים ערך מיוחד, מוצאים זווית ייחוס ברביע I, קובעים לפי הסימן באילו רביעים הפתרונות, ואוספים את כל הזוויות בתחום - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מזווית ייחוס ישירה ועד ניתוח תחום ואיתור טעות ברמת בגרות. זכרו את הלב של הכול: למשוואה כמו sin x = ½ יש בדרך כלל שני פתרונות - שתי נקודות באותו גובה על המעגל.
בכל שורה בחרו את הערך הנכון לפי מעגל היחידה: מוצאים זווית ייחוס מהערך המיוחד, קובעים לפי הסימן באילו רביעים הפתרונות, ואוספים את כל הזוויות בתחום. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". sin+ ← I, II · sin- ← III, IV · cos+ ← I, IV · cos- ← II, III · tan+ ← I, III
משוואה אחת, כמה פתרונות. "מהו הפתרון של sin x = ½?" - התשובה "30°" נכונה רק בחצי. במעגל היחידה יש שתי נקודות באותו גובה: אחת ברביע I (30°) ואחת ברביע II (150°). נעבור כאן על השיטה - ערך מיוחד, זווית ייחוס, רביעים לפי הסימן, איסוף בתחום - ומשם לתרגול המדורג.
האנטומיה של פתרון בתחום נתון - תזכורת
נזכר שוב בשיטה: מזהים את הערך המיוחד, מוצאים זווית ייחוס α ברביע I, קובעים לפי הסימן באילו שני רביעים הפתרונות, ואוספים את כל הזוויות שנופלות בתחום. הנה המפה המלאה על הדוגמה sin x = ½ בתחום 0°-360° שתלווה אתכם בתרגול:
שש כרטיסיות תזכורת
שישה מושגים לפתרון כל משוואה טריגונומטרית בתחום נתון, בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: מהמעגל, דרך הערכים המיוחדים וזווית הייחוס, סימני הרביעים ובניית הזוויות, ועד הסינון לפי התחום. ואז לתרגול המדורג.
המעגל: sin, cos, tan
על מעגל היחידה נקודה בזווית x היא (cos x, sin x): cos x שיעור ה-x, sin x שיעור ה-y, ו-tan x = sin x / cos x השיפוע של הרדיוס.
הערכים המיוחדים
כדאי לזכור בעל-פה: sin 30° = ½, cos 60° = ½, tan 45° = 1. מהערך מוצאים את זווית הייחוס α - הזווית ברביע I שנותנת את גודל הערך.
סימני הרביעים
ברביע I הכול חיובי; ברביע II רק sin חיובי; ברביע III רק tan חיובי; ברביע IV רק cos חיובי. הסימן של הערך קובע באילו שני רביעים הפתרונות.
מ-sin לזוויות
אם sin x חיובי - הפתרונות ברביעים I, II: x = α ו-x = 180° - α. אם שלילי - ברביעים III, IV: x = 180° + α ו-x = 360° - α.
מ-cos ומ-tan לזוויות
עבור cos x: חיובי → I, IV (α, 360° - α); שלילי → II, III (180° - α, 180° + α). עבור tan x הפתרונות במרחק 180°: x = α ו-x = 180° + α.
סינון לפי התחום
לבסוף שומרים רק את הזוויות שנופלות בתחום הנתון. בתחום 0°-360° יש בדרך כלל שני פתרונות; אם התחום צר יותר, ייתכן פתרון יחיד או אף אחד. תמיד בודקים על המעגל שהזווית באמת בתחום.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד. השיטה קבועה: ערך מיוחד → זווית ייחוס → רביעים לפי הסימן → איסוף כל הזוויות בתחום. אותה שיטה תעבוד בתרגול.
- זווית ייחוס: sin 30° = ½, ולכן זווית הייחוס היא α = 30°.
- רביעים לפי הסימן: sin x חיובי, אז הפתרונות ברביע I וברביע II.
- איסוף הזוויות: ברביע I x = 30°, וברביע II x = 180° - 30° = 150°. שתיהן בתחום.
- הפתרונות: x = 30° או x = 150°.
- איתור על המעגל: cos x הוא שיעור ה-x; הוא מתאפס כשהנקודה על ציר ה-y, בקצה העליון ובקצה התחתון של המעגל.
- הזוויות: הקצה העליון הוא 90° והקצה התחתון הוא 270°.
- סינון לפי התחום: שתי הזוויות 90° ו-270° נמצאות בתחום 0°-360°.
- הפתרונות: x = 90° או x = 270°.
- זווית ייחוס: tan 45° = 1, ולכן α = 45°.
- רביעים לפי הסימן: tan x חיובי ברביע I וברביע III; פתרונות ה-tan תמיד במרחק 180° זה מזה.
- איסוף הזוויות: ברביע I x = 45°, וברביע III x = 180° + 45° = 225°.
- הפתרונות: x = 45° או x = 225°.
תרגול מדורג - משוואות טריגונומטריות
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: זווית ייחוס וקריאה ישירה; פתרון מלא לפי הסימן והרביעים; מספר פתרונות ומקרים מיוחדים; ועד ניתוח תחום צר, פתרון יחיד ואיתור טעות ברמת בגרות. כל תשובה מספרית היא זווית שלמה במעלות בתחום. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ עם לשונית "פותר המעגל". בחרו או הקלידו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1המעגל: נקודה בזווית x היא (cos x, sin x) - cos שיעור x, sin שיעור y.
- 2זווית ייחוס: מהערך המיוחד מוצאים את α ברביע I (למשל sin 30° = ½, cos 60° = ½, tan 45° = 1).
- 3סימני רביעים: I הכול+, II רק sin+, III רק tan+, IV רק cos+.
- 4איסוף פתרונות: הסימן קובע שני רביעים; בונים כל זווית מ-α (180° - α, 180° + α, 360° - α).
- 5תחום: שומרים רק זוויות שנופלות בתחום הנתון - בדרך כלל שתיים בתחום 0°-360°.
| המשוואה | זווית ייחוס | הפתרונות |
|---|---|---|
| sin x = 12 | 30° | 30° , 150° |
| sin x = -12 | 30° | 210° , 330° |
| cos x = 12 | 60° | 60° , 300° |
| cos x = -12 | 60° | 120° , 240° |
| cos x = 0 | - | 90° , 270° |
| tan x = 1 | 45° | 45° , 225° |
