לפתור כל משוואה טריגונומטרית בתחום נתון
למשוואה כמו sin x = ½ אין פתרון יחיד - יש פתרונות בכל רביע שבו הסימן והערך מתאימים. במעגל היחידה sin הוא שיעור ה-y, cos הוא שיעור ה-x, ו-tan הוא היחס ביניהם. מוצאים זווית ייחוס מהערכים המיוחדים, ואז אוספים את כל הזוויות בתחום הנתון. סובבו את הרדיוס במעבדה וראו את הפתרונות נדלקים על המעגל.
כמה זוויות פותרות את sin x = ½? התשובה האינטואיטיבית - "30°" - נכונה רק בחצי. במעגל היחידה sin x הוא הגובה של הנקודה על המעגל, וישנן שתי נקודות שונות באותו גובה: אחת ברביע הראשון (30°) ואחת ברביע השני (150°). לכן בתחום 0° ≤ x ≤ 360° יש שני פתרונות. הסוד הוא לחשוב לא על מספר אחד אלא על כל הזוויות שהרדיוס הסובב פוגש שנותנות אותו ערך - בדיוק מה שנלמד כאן.
האנטומיה של פתרון בתחום נתון
לכל משוואה טריגונומטרית יש אותה שיטה: מזהים את הערך המיוחד, מוצאים זווית ייחוס ברביע הראשון, קובעים באילו רביעים הסימן מתאים, ואוספים את כל הזוויות שנופלות בתחום. הנה המפה המלאה על הדוגמה sin x = ½ בתחום 0°-360°:
מה מרכיב פתרון של משוואה טריגונומטרית
שישה מושגים שנותנים שליטה מלאה בפתרון כל משוואה טריגונומטרית בתחום נתון, בדיוק כפי שהם נדרשים ב-5 יח״ל. נסו לשנות במעבדה שלמעלה את הפונקציה ואת הערך תוך כדי קריאה, וצפו כיצד זוויות הפתרון נדלקות ברביעים המתאימים.
המעגל: sin, cos, tan
על מעגל היחידה נקודה בזווית x היא (cos x, sin x). כלומר cos x הוא שיעור ה-x, sin x הוא שיעור ה-y, ו-tan x = sin xcos x הוא השיפוע של הרדיוס.
הערכים המיוחדים
כדאי לזכור בעל־פה את הזוויות של 0°, 30°, 45°, 60°, 90°. למשל sin 30° = ½, cos 60° = ½, tan 45° = 1. מהערך נמצא את זווית הייחוס - הזווית ברביע הראשון שנותנת את גודל הערך.
סימני הרביעים
ברביע I הכול חיובי; ברביע II רק sin חיובי; ברביע III רק tan חיובי; ברביע IV רק cos חיובי. הסימן של הערך קובע באילו שני רביעים נמצאים הפתרונות.
מ-sin לזוויות
אם sin x חיובי - הפתרונות ברביעים I ו-II: x = α ו-x = 180° − α. אם שלילי - ברביעים III ו-IV: x = 180° + α ו-x = 360° − α. כאן α היא זווית הייחוס.
מ-cos ומ-tan לזוויות
עבור cos x: חיובי ← רביעים I, IV (x = α, 360° − α); שלילי ← II, III (180° − α, 180° + α). עבור tan x הפתרונות במרחק 180° זה מזה: x = α ו-x = 180° + α.
סינון לפי התחום
לבסוף שומרים רק את הזוויות שנופלות בתחום הנתון. בתחום 0°-360° יש בדרך כלל שני פתרונות; אם התחום צר יותר, ייתכן פתרון יחיד או אף אחד. תמיד בודקים על המעגל שהזווית באמת בתחום.
דוגמאות פתורות
שלושה פתרונות מלאים, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 5 יח״ל. שימו לב לשיטה - היא חוזרת: ערך מיוחד ← זווית ייחוס ← רביעים לפי הסימן ← איסוף כל הזוויות בתחום.
- זווית ייחוס: sin 30° = ½, ולכן זווית הייחוס היא α = 30°.
- רביעים לפי הסימן: sin x חיובי, אז הפתרונות ברביע I וברביע II.
- איסוף הזוויות: ברביע I x = 30°, וברביע II x = 180° − 30° = 150°. שתיהן בתחום.
- הפתרונות: x = 30° או x = 150°.
- איתור על המעגל: cos x הוא שיעור ה-x; הוא מתאפס כשהנקודה על ציר ה-y, כלומר בקצה העליון ובקצה התחתון של המעגל.
- הזוויות: הקצה העליון הוא 90° והקצה התחתון הוא 270°.
- סינון לפי התחום: שתי הזוויות 90° ו-270° נמצאות בתחום 0°-360°.
- הפתרונות: x = 90° או x = 270°.
- זווית ייחוס: tan 45° = 1, ולכן α = 45°.
- רביעים לפי הסימן: tan x חיובי ברביע I וברביע III; פתרונות ה-tan תמיד במרחק 180° זה מזה.
- איסוף הזוויות: ברביע I x = 45°, וברביע III x = 180° + 45° = 225°.
- הפתרונות: x = 45° או x = 225°.
תרגול אינטראקטיבי
תרגול מקיף בשלוש רמות: יסוד (ערך מיוחד וזווית ייחוס), יישום (פתרון מלא בתחום עם נימוק לפי רביעים), ורמת בגרות (פתרונות מרובים וניתוח תחום). פתרו סט, ועברו לסט הבא עם החצים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר המעגל".
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1המעגל: נקודה בזווית x היא (cos x, sin x) - cos שיעור x, sin שיעור y.
- 2זווית ייחוס: מהערך המיוחד מוצאים את α ברביע I (למשל sin 30° = ½).
- 3סימני רביעים: I הכול+, II רק sin+, III רק tan+, IV רק cos+.
- 4איסוף פתרונות: הסימן קובע שני רביעים; בונים כל זווית מ-α (180°−α, 180°+α, 360°−α).
- 5תחום: שומרים רק זוויות שנופלות בתחום הנתון - בדרך כלל שתיים בתחום 0°-360°.
