נדב כץלמידה ברמה אחרת
מתמטיקה · יא׳ · 3 יח״ל 3 יחידות
מודל מעריכי · גדילה ודעיכה · תרגול מדורג

תרגול המודל המעריכי

כל מה שלמדנו על גדילה ודעיכה מעריכית - הנוסחה כמות סופית = התחלתית · מקדםזמן, מקדם גדילה 1 + אחוז/100, מקדם דעיכה 1 - אחוז/100, חישוב אחרי כמה תקופות, ומציאת זמן בניסוי - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מבניית מקדם ועד שאלה רב-שלבית ברמת בגרות. זכרו את השיטה: מזהים כמות התחלתית, קובעים מקדם, ומעלים בחזקת הזמן - כופלים, לא מחברים.

מעבדת המודל - בחרו את התשובה בחרו בכל שורה את הערך הנכון - מקדם, הכמות אחרי t תקופות, גדילה או דעיכה

בכל שורה בחרו את הערך הנכון. השיטה קבועה: מזהים כמות התחלתית, קובעים מקדם (1 + אחוז/100 לגדילה, 1 - אחוז/100 לדעיכה), ומעלים את המקדם בחזקת הזמן. הכמות הסופית = התחלתית · מקדם בחזקת זמן. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". כמות התחלתית · מקדם · זמן

2% זה הרבה או מעט? נשמע זניח - אבל בגדילה מעריכית האחוז מצטבר על עצמו. אוכלוסייה של 10,000 שגדלה 2% בשנה מגיעה אחרי 3 שנים ל-10,000 · 1.023 ≈ 10,612, וממשיכה לטפס מהר יותר ויותר. הטעות הנפוצה היא לחבר את האחוז בכל שנה במקום לכפול במקדם - וזה נותן מספר קטן מדי. נזכיר כאן את השיטה בקצרה, ומשם לתרגול המדורג. זכרו: מקדם בחזקת הזמן - כופלים, לא מחברים.

מבט מקרוב

האנטומיה של המודל המעריכי - תזכורת

נזכר שוב בשיטה: לכל תהליך מעריכי אותם שלושה מרכיבים - כמות התחלתית, מקדם קבוע שכופלים בו בכל יחידת זמן, וזמן (מספר הפעמים שכופלים). מזהים אותם, וכותבים את הנוסחה מייד. הנה המפה המלאה על דוגמה - אוכלוסייה של 10,000 שגדלה 2% בשנה - אותה תמונה תלווה אתכם בכל שאלה בתרגול.

מרכיבי המודל - על 10,000 · 1.02t
y t (שנים) כמות התחלתית = 10,000 (בזמן 0) אחרי 3 שנים ≈ 10,612 מקדם 1.02 - כופלים בכל שנה הגדילה מאיצה עם הזמן y = 10,000 · 1.02ₜ
תזכורת לפני התרגול

שש כרטיסיות תזכורת

שישה מושגים שנותנים שליטה מלאה בכל תהליך של גדילה או דעיכה מעריכית של כיתה יא׳ (3 יח״ל), בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: מהנוסחה הכללית, דרך מקדם הגדילה והדעיכה והזמן כמעריך, ועד מציאת הזמן בניסוי והשוואת גדילה מול דעיכה. ואז לתרגול המדורג.

1

הנוסחה הכללית

כל תהליך מעריכי נכתב כ-כמות סופית = כמות התחלתית · מקדםזמן. הכמות ההתחלתית היא הערך בזמן 0, והמקדם הוא מספר קבוע שכופלים בו שוב ושוב - פעם אחת לכל יחידת זמן.

2

מקדם גדילה

כשהכמות גדֵלה באחוז קבוע, המקדם הוא 1 + אחוז100. גדילה של 2% נותנת מקדם 1.02, וגדילה של 5% נותנת 1.05. המקדם תמיד גדול מ-1.

3

מקדם דעיכה

כשהכמות דוֹעכת באחוז קבוע, המקדם הוא 1 - אחוז100. ירידה של 15% נותנת מקדם 0.85 (שומרים 85%), וירידה של 20% נותנת 0.8. המקדם תמיד בין 0 ל-1.

4

הזמן כמעריך

הזמן הוא החזקה - כמה פעמים כופלים במקדם. אחרי שנה כופלים פעם אחת, אחרי 3 שנים שלוש פעמים: 10,000 · 1.023. חשוב לוודא שהאחוז והזמן נמדדים באותה יחידה (אחוז לשנה ↔ מספר שנים).

5

למצוא את הזמן - בניסוי

כשמחפשים אחרי כמה זמן חוצים יעד, מקבלים מקדםזמן = מספר. ב-3 יח״ל פותרים זאת בניסוי וטעייה ואומדן: מציבים ערכי זמן עולים עד שמתקבל הערך הדרוש - בלי לוגריתמים.

6

גדילה מול דעיכה

מקדם גדול מ-1 מוביל לעקומה עולה שמאיצה, ומקדם בין 0 ל-1 לעקומה יורדת שמתמתנת ומתקרבת ל-0 בלי להגיע אליו. אותה נוסחה בדיוק - רק ערך המקדם קובע את הכיוון.

מקדם > 1
מקדם > 1 - עולה ומאיצה
מקדם בין 0 ל-1
מקדם בין 0 ל-1 - יורדת ומתמתנת
נפתור יחד

דוגמאות פתורות

שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 3 יח״ל. השיטה קבועה וחוזרת על עצמה: מזהים כמות התחלתית, קובעים מקדם, מציבים את הזמן; ובחיפוש זמן - פותרים בניסוי. אותה שיטה תעבוד בתרגול.

דוגמה 1אוכלוסייה 10,000, גדילה 2% בשנה
  1. כמות התחלתית: 10,000 תושבים בזמן 0.
  2. מקדם: גדילה של 2% נותנת מקדם 1 + 2100 = 1.02.
  3. מציבים את הזמן: אחרי 3 שנים 10,000 · 1.023 = 10,000 · 1.061208 ≈ 10,612.
  4. אחרי 3 שנים האוכלוסייה כ-10,612 תושבים.
דוגמה 2מכונית 80,000 ₪, ירידת ערך 15% בשנה
  1. כמות התחלתית: 80,000 ₪ ערך המכונית בזמן הקנייה.
  2. מקדם: ירידה של 15% - שומרים 85% - נותנת מקדם 1 - 15100 = 0.85.
  3. מציבים את הזמן: אחרי שנתיים 80,000 · 0.852 = 80,000 · 0.7225 = 57,800.
  4. אחרי שנתיים ערך המכונית 57,800 ₪.
דוגמה 3אחרי כמה שנים גדילה 2% מוסיפה יותר מ-20%?
  1. מנסחים את התנאי: נדרש שהאוכלוסייה תגדל ביותר מ-20%, כלומר 1.02t > 1.2.
  2. ניסוי - מציבים ערכי זמן: 1.025 ≈ 1.104 (עוד לא), 1.029 ≈ 1.195 (כמעט), 1.0210 ≈ 1.219 (עברנו את 1.2).
  3. מסקנה: בשנה ה-10 המקדם המצטבר עובר את 1.2, כלומר גידול של יותר מ-20%.
  4. דרושות כ-10 שנים. את המשוואה 1.02t = 1.2 פותרים בניסוי - ללא לוגריתמים.
תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול מדורג - המודל המעריכי

ניקוד: 0 / 0

ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: בניית מקדם וחישוב ישיר; חישוב אחרי כמה תקופות ובעיות מודלינג; השוואת גדילה ודעיכה ואיתור טעות; ועד שאלה רב-שלבית ומציאת זמן בניסוי ברמת בגרות. כל השאלות מבוססות על השיטה שלמעלה (כמות התחלתית · מקדם בחזקת זמן), והתשובות יוצאות נקיות. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר המודל" שמחשבת מקדם, כמות אחרי t שנים וזמן ליעד בניסוי. בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

0%
שליטה
0חדש
0בלימוד
0בחזרה
0שולט

הנקודות שכדאי לזכור

  • 1הנוסחה: כמות סופית = התחלתית · מקדםזמן.
  • 2מקדם גדילה: 1 + אחוז/100 (גדול מ-1). למשל 2% ← 1.02.
  • 3מקדם דעיכה: 1 - אחוז/100 (בין 0 ל-1). למשל 15% ← 0.85.
  • 4זמן = מעריך: מספר הפעמים שכופלים במקדם. כופלים, לא מחברים.
  • 5למצוא זמן: מקדםזמן = מספר נפתר בניסוי ואומדן - ללא לוגריתמים.
מפתח פתרונות (תרגול)

    מודל מעריכי. הכמות ההתחלתית והמקדם הם שני הדברים שצריך לזהות ראשונים.

    תצוגת דף עבודה כל השאלות פתוחות, בלי מענה אינטראקטיבי