כשהשינוי הוא אחוז קבוע בכל צעד
אוכלוסייה שגדלה 2% בשנה, מכונית שמאבדת 15% מערכה בשנה, חיסכון שצובר ריבית - כולם מתוארים בנוסחה אחת: כמות סופית = כמות התחלתית · מקדםזמן. המקדם הוא 1 + אחוז100 לגדילה ו-1 − אחוז100 לדעיכה. גררו את המחוונים במעבדה וצפו בעקומה נבנית בזמן אמת.
2% זה הרבה או מעט? נשמע זניח - אבל אוכלוסייה של 10,000 שגדלה 2% בשנה מגיעה אחרי 3 שנים ל-10,000 · 1.02³ ≈ 10,612, וממשיכה לטפס מהר יותר ויותר. זה כוחו של השינוי המעריכי: בכל צעד מכפילים במקדם קבוע, כך שהגידול עצמו גדל. אותו רעיון בדיוק פועל הפוך בדעיכה - מכונית שמאבדת 15% בשנה שומרת בכל שנה רק 85% מערכה. בדף הזה נלמד לבנות את הנוסחה, לחשב קדימה, ולמצוא בניסוי אחרי כמה זמן חוצים יעד.
האנטומיה של המודל המעריכי
לכל תהליך מעריכי אותם שלושה מרכיבים: כמות התחלתית, מקדם קבוע שכופלים בו בכל יחידת זמן, וזמן - מספר הפעמים שכופלים. כשמזהים אותם, כותבים את הנוסחה מייד. הנה המפה המלאה על דוגמה - אוכלוסייה של 10,000 שגדלה 2% בשנה:
מה מרכיב תהליך מעריכי
שישה מושגים שנותנים שליטה מלאה בכל תהליך של גדילה או דעיכה מעריכית, בדיוק כפי שהם נדרשים ב-3 יח״ל. נסו לשנות במעבדה שלמעלה את האחוז ואת הזמן תוך כדי קריאה, וצפו איך העקומה מגיבה.
הנוסחה הכללית
כל תהליך מעריכי נכתב כ-כמות סופית = כמות התחלתית · מקדםזמן. הכמות ההתחלתית היא הערך בזמן 0, והמקדם הוא מספר קבוע שכופלים בו שוב ושוב - פעם אחת לכל יחידת זמן.
מקדם גדילה
כשהכמות גדֵלה באחוז קבוע, המקדם הוא 1 + אחוז100. גדילה של 2% נותנת מקדם 1.02, וגדילה של 5% נותנת 1.05. המקדם תמיד גדול מ-1.
מקדם דעיכה
כשהכמות דוֹעכת באחוז קבוע, המקדם הוא 1 − אחוז100. ירידה של 15% נותנת מקדם 0.85 (שומרים 85%), וירידה של 10% נותנת 0.9. המקדם תמיד בין 0 ל-1.
הזמן כמעריך
הזמן הוא החזקה - כמה פעמים כופלים במקדם. אחרי שנה כופלים פעם אחת, אחרי 3 שנים שלוש פעמים: 10,000 · 1.02³. חשוב לוודא שהאחוז והזמן נמדדים באותה יחידה (אחוז לשנה ↔ מספר שנים).
למצוא את הזמן - בניסוי
כשמחפשים אחרי כמה זמן חוצים יעד, מקבלים מקדםזמן = מספר. ב-3 יח״ל פותרים זאת בניסוי וטעייה ואומדן: מציבים ערכי זמן עולים עד שמתקבל הערך הדרוש - בלי לוגריתמים.
גדילה מול דעיכה
מקדם גדול מ-1 מוביל לעקומה עולה שמאיצה, ומקדם בין 0 ל-1 לעקומה יורדת שמתמתנת ומתקרבת ל-0 בלי להגיע אליו. אותה נוסחה בדיוק - רק ערך המקדם קובע את הכיוון.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 3 יח״ל. שימו לב לשיטה - היא חוזרת על עצמה: מזהים כמות התחלתית, קובעים מקדם, מציבים את הזמן, ובחיפוש זמן - פותרים בניסוי.
- כמות התחלתית: 10,000 תושבים בזמן 0.
- מקדם: גדילה של 2% נותנת מקדם 1 + 2100 = 1.02.
- מציבים את הזמן: אחרי 3 שנים 10,000 · 1.02³ = 10,000 · 1.061208 ≈ 10,612.
- אחרי 3 שנים האוכלוסייה כ-10,612 תושבים.
- כמות התחלתית: 80,000 ₪ ערך המכונית בזמן הקנייה.
- מקדם: ירידה של 15% - שומרים 85% - נותנת מקדם 1 − 15100 = 0.85.
- מציבים את הזמן: אחרי שנתיים 80,000 · 0.85² = 80,000 · 0.7225 = 57,800.
- אחרי שנתיים ערך המכונית 57,800 ₪.
- מנסחים את התנאי: נדרש שהאוכלוסייה תגדל ביותר מ-20%, כלומר 1.02t > 1.2.
- ניסוי - מציבים ערכי זמן: 1.02⁵ ≈ 1.104 (עוד לא), 1.02⁹ ≈ 1.195 (כמעט), 1.02¹⁰ ≈ 1.219 (עברנו את 1.2).
- מסקנה: בשנה ה-10 המקדם המצטבר עובר את 1.2, כלומר גידול של יותר מ-20%.
- דרושות כ-10 שנים. את המשוואה 1.02t = 1.2 פותרים בניסוי - ללא לוגריתמים.
תרגול אינטראקטיבי
תרגול מקיף בשלוש רמות: יסוד (בניית מקדם וחישוב ישיר), יישום (בעיות מודלינג בהקשר), ורמת בגרות (שאלה רב-שלבית עם פתרון בניסוי ונימוק). פתרו סט, ועברו לסט הבא עם החצים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר המודל".
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1הנוסחה: כמות סופית = התחלתית · מקדםזמן.
- 2מקדם גדילה: 1 + אחוז/100 (גדול מ-1). למשל 2% ← 1.02.
- 3מקדם דעיכה: 1 − אחוז/100 (בין 0 ל-1). למשל 15% ← 0.85.
- 4זמן = מעריך: מספר הפעמים שכופלים במקדם. שמרו על אותה יחידת זמן.
- 5למצוא זמן: מקדםזמן = מספר נפתר בניסוי ואומדן - ללא לוגריתמים.
