תרגול הסתברות מתקדמת
כל מה שלמדנו על הרכבת מאורעות - הכפלה למאורעות בלתי תלויים P(A∩B) = P(A)·P(B) לשני מאורעות, שליפה בלי החזרה שבה מעדכנים את המכנה לאורך העץ, נוסחת האיחוד P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B), והמשלים 1 - P(A) שהופך "לפחות אחד" לחיסור פשוט - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מחישוב ישיר ועד ניתוח רב-שלבי ואיתור טעות ברמת בגרות. זכרו את השיטה: מזהים תלוי או בלתי תלוי, מכפילים לאורך המסלול, ועוברים למשלים כשמופיע "לפחות".
בכל שורה בחרו את ההסתברות הנכונה - הכפלה למאורעות בלתי תלויים, עדכון המכנה בשליפה בלי החזרה, נוסחת האיחוד, או מעבר למשלים. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". בלתי תלויים P(A∩B) = P(A)·P(B) · איחוד P(A∪B) = P(A)+P(B)-P(A∩B) · משלים 1-P(A)
שני כלים, כמעט כל שאלה. מטילים מטבע פעמיים. שני עצים? ההטלות בלתי תלויות, לכן מכפילים: ½ · ½ = ¼. לפחות עץ אחד? במקום לספור מקרים, עוברים למשלים: 1 - ¼ = ¾. שימו לב חיתוך של שלושה מאורעות אינו נלמד ואינו נבחן בשאלון 371 בתשפ״ז. נזכיר כאן את כל הכלים - חיתוך בלתי תלוי, שליפה בלי החזרה, איחוד ומשלים - ומשם לתרגול המדורג. זכרו: בלי החזרה מעדכנים את המונה והמכנה, ו"לפחות אחד" הכי קל דרך 1 - P(אף אחד).
האנטומיה של עץ הסתברות - תזכורת
נזכר שוב במבנה: עץ הסתברות מפרק מאורע מורכב לשלבים. בכל צומת יוצאים ענפים, וסכום ההסתברויות שלהם הוא 1. ההסתברות של מסלול שלם היא מכפלת ההסתברויות שלאורכו. הנה עץ שתי הטלות מטבע - לכל עלה מסלול משלו, וכל מסלול הוא מכפלה של ½:
שש כרטיסיות תזכורת
שישה מושגים מפרק ההסתברות המתקדמת של כיתה יא׳ (3 יח״ל), בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: מחיתוך בלתי תלוי של שני מאורעות, דרך שליפה בלי החזרה, ועד איחוד, משלים ו"לפחות אחד". ואז לתרגול המדורג.
חיתוך בלתי תלוי
שני מאורעות בלתי תלויים אם אחד לא משפיע על השני. אז ההסתברות ששניהם קורים היא המכפלה: P(A∩B) = P(A)·P(B). למשל שתי הטלות מטבע: ½ · ½ = ¼.
שני מאורעות - וכמה נדרש השנה
הכלל שנדרש בתשפ״ז הוא חיתוך של שני מאורעות בלתי תלויים: מכפילים את שתי ההסתברויות. שני עצים ברצף: ½ · ½ = ¼. חיתוך של עד שלושה מאורעות הוצא מהלימוד ומהבחינה בתשפ״ז.
שליפה בלי החזרה
כשאין החזרה ההסתברות משתנה בין השלבים. מכד עם 5 אדומים ו-3 כחולים, שולפים 2 בלי החזרה: P(שניהם אדומים) = 58 · 47 = 514. המונה והמכנה קטנו - מאורע תלוי.
איחוד מאורעות
ההסתברות שלפחות אחד משני מאורעות קורה: P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B). מחסירים את החיתוך כדי לא לספור אותו פעמיים.
המשלים
ההסתברות שמאורע לא קורה: P(לא A) = 1 - P(A). זה הקיצור המרכזי בהסתברות - הופך שאלה קשה לחיסור פשוט.
"לפחות" ו"לכל היותר"
"לפחות אחד" = 1 פחות "אף אחד". שתי הטלות: P(לפחות עץ) = 1 - P(2 פלים) = 1 - ¼ = ¾. "לכל היותר" עובד באותה שיטה - עוברים למשלים הנוח.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד. השיטה קבועה: מזהים אם המאורעות תלויים או בלתי תלויים, מכפילים לאורך המסלול, ועוברים למשלים כשמופיע "לפחות". אותה שיטה תעבוד בתרגול.
- שני עצים: ההטלות בלתי תלויות, לכן מכפילים: P(2 עצים) = ½ · ½ = ¼ = 0.25.
- מעבר למשלים: "לפחות עץ אחד" הוא ההפך של "אף עץ", כלומר "שני פלים". גם זה ½ · ½ = ¼.
- מחסירים מ-1: P(לפחות עץ אחד) = 1 - ¼ = ¾ = 0.75.
- שני עצים: ¼. לפחות עץ אחד: ¾ - הרבה יותר סביר.
- שליפה ראשונה אדומה: מתוך 8 כדורים, 5 אדומים, לכן P = 58.
- שליפה שנייה אדומה (תלוי!): נשארו 7 כדורים, מתוכם 4 אדומים, לכן P = 47.
- מכפילים לאורך המסלול: P(שניהם אדומים) = 58 · 47 = 2056 = 514.
- P(שניהם אדומים) = 514 ≈ 0.357. בלי החזרה - מאורע תלוי.
- חיתוך (בלתי תלויים): P(A∩B) = P(A)·P(B) = 0.6 · 0.5 = 0.3.
- איחוד: P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 0.6 + 0.5 - 0.3 = 0.8.
- אף אחד (משלים של האיחוד): P(לא A ולא B) = 1 - P(A∪B) = 1 - 0.8 = 0.2.
- חיתוך 0.3, איחוד 0.8, ואף אחד לא קורה בהסתברות 0.2.
תרגול מדורג - הסתברות מתקדמת
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: חישוב ישיר של חיתוך, משלים ואיחוד; בעיות מודלינג עם שליפה בלי החזרה ויריות בלתי תלויות; עץ רב-שלבי ואיחוד; ועד ניתוח רב-שלבי ואיתור טעות ברמת בגרות. כל השאלות מבוססות על הכללים של כיתה יא׳ 3 יח״ל. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית (וגם לכתוב שבר כמו 514), ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר הסתברות" שמחשבת חיתוך, איחוד ומשלים. בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1בלתי תלויים: P(A∩B) = P(A)·P(B) - מכפילים את שתי ההסתברויות. חיתוך שלושה מאורעות אינו נבחן בתשפ״ז.
- 2בלי החזרה: ההסתברות בשלב השני משתנה - ⁵⁄₈ · ⁴⁄₇ = ⁵⁄₁₄.
- 3איחוד: P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) - מחסירים את החיתוך.
- 4משלים: P(לא A) = 1 - P(A).
- 5"לפחות אחד": 1 - P(אף אחד) - הקיצור החזק ביותר.
| הכלי | הכלל | דוגמה |
|---|---|---|
| חיתוך בלתי תלוי | מכפלה P(A) כפול P(B) | 0.6 * 0.5 = 0.3 |
| שני מאורעות בלתי תלויים | מכפילים את שתי ההסתברויות | 12 · 12 = 14 |
| בלי החזרה | מעדכנים ומכפילים לאורך המסלול | 58 * 47 = 514 |
| איחוד | P(A) ועוד P(B) פחות P(A∩B) | 0.6 + 0.5 - 0.3 = 0.8 |
| לפחות אחד | 1 פחות "אף אחד" | 1 - 18 = 78 |
