נדב כץלמידה ברמה אחרת
מתמטיקה · יא׳ · 3 יח״ל 3 יחידות
הסתברות מתקדמת

להרכיב מאורעות ולחשב סיכוי

כשמאורעות בלתי תלויים מכפילים: P(A∩B) = P(A)·P(B). איחוד מחשבים לפי P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B), ו"לפחות אחד" הכי קל דרך המשלים 1 − P(אף אחד). במעבדה תבנו עץ הסתברות דו-שלבי ותראו כל מסלול נדלק.

מעבדת עץ ההסתברות שנו את P(A) ו-P(B) וצפו במסלולי העץ ובדיאגרמת האיחוד
עץ דו-שלבי · P(A), P(B)
חיתוך P(A∩B) = 0.30 איחוד P(A∪B) = 0.80 אף אחד 0.20 לפחות אחד 0.80
P(A)0.6
P(B)0.5

מטילים מטבע פעמיים. מה הסיכוי לקבל שני עצים? ההטלה השנייה בלתי תלויה בראשונה, ולכן מכפילים: ½ · ½ = ¼. ומה הסיכוי לקבל לפחות עץ אחד? במקום לספור מקרים, לוקחים את המשלים: 1 − ¼ = ¾. שני הכלים האלה - הכפלה למאורעות בלתי תלויים ומעבר למשלים - פותרים כמעט כל שאלת בגרות בהסתברות. שימו לב חיתוך של שלושה מאורעות אינו נלמד ואינו נבחן בתשפ״ז ("הנושאים שלא יילמדו בשנת הלימודים תשפ״ז", שאלון 371, אשכול חברה ומדע). כל מה שנדרש השנה הוא חיתוך של שני מאורעות.

מבט מקרוב

האנטומיה של עץ הסתברות

עץ הסתברות מפרק מאורע מורכב לשלבים. בכל צומת יוצאים ענפים, וההסתברות שלהם מסתכמת ל-1. ההסתברות של מסלול שלם היא מכפלת ההסתברויות שלאורכו. הנה עץ שתי הטלות מטבע - לכל עלה מסלול משלו:

עץ שתי הטלות מטבע - כל מסלול הוא מכפלה של ½
התחלה ½ עץ ½ פלי ½ ½ ½ ½ עץ-עץ = ¼ עץ-פלי = ¼ פלי-עץ = ¼ פלי-פלי = ¼
נכיר צעד אחר צעד

מה מרכיב הסתברות מתקדמת

שישה מושגים שנותנים שליטה מלאה בכל שאלת הסתברות של 3 יח״ל. שנו במעבדה שלמעלה את P(A) ו-P(B) תוך כדי קריאה, וצפו איך משתנים החיתוך והאיחוד.

1

חיתוך בלתי תלוי

שני מאורעות בלתי תלויים אם אחד לא משפיע על השני. אז ההסתברות ששניהם קורים היא המכפלה: P(A∩B) = P(A)·P(B). למשל שתי הטלות מטבע: ½ · ½ = ¼.

2

שני מאורעות - וכמה נדרש השנה

הכלל שנדרש בתשפ״ז הוא חיתוך של שני מאורעות בלתי תלויים: מכפילים את שתי ההסתברויות. שני עצים ברצף: ½ · ½ = ¼. חיתוך של שלושה מאורעות אינו נלמד ואינו נבחן השנה.

3

מאורעות תלויים

כשאין החזרה, ההסתברות משתנה בין השלבים. מכד עם 5 אדומים ו-3 כחולים, שולפים 2 בלי החזרה: P(שניהם אדומים) = 58 · 47 = 514. שימו לב שהמונה והמכנה קטנו.

4

איחוד מאורעות

ההסתברות שלפחות אחד משני מאורעות קורה: P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B). מחסירים את החיתוך כדי לא לספור אותו פעמיים.

5

המשלים

ההסתברות שמאורע לא קורה: P(לא A) = 1 − P(A). זה הקיצור המרכזי בהסתברות - הופך שאלה קשה לחיסור פשוט.

6

"לפחות" ו"לכל היותר"

"לפחות אחד" = 1 פחות "אף אחד". שתי הטלות: P(לפחות עץ) = 1 − P(2 פלים) = 1 − ¼ = ¾. "לכל היותר" עובד באותה שיטה - עוברים למשלים הנוח.

½½
P(A)·P(B)
בלתי תלויים - מכפילים ישירות P(A)·P(B)
5/84/7
58 · 47 = 514
תלויים (בלי החזרה) - ההסתברות השנייה משתנה
נפתור יחד

דוגמאות פתורות

שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 3 יח״ל. שימו לב לשיטה החוזרת: לזהות אם המאורעות בלתי תלויים או תלויים, להכפיל לאורך המסלול, ולעבור למשלים כשמופיע "לפחות".

דוגמה 1מטבע הוגן, 3 הטלות
  1. שני עצים: ההטלות בלתי תלויות, לכן מכפילים: P(2 עצים) = ½ · ½ = ¼ = 0.25.
  2. מעבר למשלים: "לפחות עץ אחד" הוא ההפך של "אף עץ", כלומר "שני פלים". גם זה ½ · ½ = ¼.
  3. מחסירים מ-1: P(לפחות עץ אחד) = 1 − ¼ = ¾ = 0.75.
  4. שני עצים: ¼. לפחות עץ אחד: ¾ - הרבה יותר סביר.
דוגמה 2מכד: 5 אדומים, 3 כחולים - שולפים 2 בלי החזרה
  1. שליפה ראשונה אדומה: מתוך 8 כדורים, 5 אדומים, לכן P = 58.
  2. שליפה שנייה אדומה (תלוי!): נשארו 7 כדורים, מתוכם 4 אדומים, לכן P = 47.
  3. מכפילים לאורך המסלול: P(שניהם אדומים) = 58 · 47 = 2056 = 514.
  4. P(שניהם אדומים) = 514 ≈ 0.357. בלי החזרה - לכן מאורע תלוי.
דוגמה 3P(A) = 0.6 , P(B) = 0.5 , בלתי תלויים
  1. חיתוך (בלתי תלויים): P(A∩B) = P(A)·P(B) = 0.6 · 0.5 = 0.3.
  2. איחוד: P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B) = 0.6 + 0.5 − 0.3 = 0.8.
  3. אף אחד (משלים של האיחוד): P(לא A ולא B) = 1 − P(A∪B) = 1 − 0.8 = 0.2.
  4. חיתוך 0.3, איחוד 0.8, ואף אחד לא קורה בהסתברות 0.2.
תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול אינטראקטיבי

ניקוד: 0 / 0

תרגול מקיף בשלוש רמות: יסוד (חישוב ישיר של חיתוך, איחוד ומשלים), יישום (בעיות מודלינג עם עץ ומכד), ורמת בגרות (שאלה רב-שלבית עם נימוק). פתרו סט, ועברו לסט הבא עם החצים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר הסתברות".

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

0%
שליטה
0חדש
0בלימוד
0בחזרה
0שולט

הנקודות שכדאי לזכור

  • 1בלתי תלויים: P(A∩B) = P(A)·P(B) - מכפילים את שתי ההסתברויות. חיתוך שלושה מאורעות אינו נבחן בתשפ״ז.
  • 2תלויים (בלי החזרה): ההסתברות בשלב השני משתנה - ⁵⁄₈ · ⁴⁄₇ = ⁵⁄₁₄.
  • 3איחוד: P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B) - מחסירים חיתוך.
  • 4משלים: P(לא A) = 1 − P(A).
  • 5"לפחות אחד": 1 − P(אף אחד) - הקיצור החזק ביותר.
מפתח פתרונות (תרגול)

    שנו את P(A) ואת P(B). מסלולי העץ נדלקים, והחיתוך והאיחוד משתנים איתם.

    תצוגת דף עבודה כל השאלות פתוחות, בלי מענה אינטראקטיבי